Nasty Problem
จงหาค่าของ $$ \frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\sqrt{10+\sqrt{3}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}} }{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\sqrt{10-\sqrt{3}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}} } $$
มีใครมี solution สวยๆสำหรับข้อนี้ป่าวครับ |
อ้างอิง:
Use the identity $\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}\Big)$. $x= \dfrac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\sqrt{10+\sqrt{3}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}} }{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\sqrt{10-\sqrt{3}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}} } $ $~=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\big(\sqrt{10+\sqrt{99}}+\sqrt{10-\sqrt{99}}\big)+\cdots+\big(\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{1}}\big)}{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\sqrt{10-\sqrt{3}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}} }$ $~=\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}$ $\therefore x=\sqrt{2}+1$ |
เมื่อคืนว่าจะมาตอบ แต่เห็นว่าดึกแล้วเลยไม่ได้ตอบ แต่พอมาเห็นคุณ nooonuii ตอบผมว่าคำตอบก็สวยไม่แพ้โจทย์ครับ:great:
แนวคิดผมก็เหมือนของคุณ nooonuii แต่ผมใช้เอกลักษณ์นี้ครับ $\frac{ \sqrt{a+\sqrt{b} } +\sqrt{a+\sqrt{a^2-b} }}{\sqrt{a-\sqrt{b} } +\sqrt{a-\sqrt{a^2-b} }} =\sqrt{2} +1$ |
โอ้โห วิธีสุดยอด
THX for identities :please::please: |
อ้างอิง:
อยากรู้ที่มาของโจทย์ข้อนี้จังเลยครับ :please: |
พอดีมีคนบอกมาครับ ผมนั่งคิดนอนคิดอยู่หลายวันก็ไม่ออกซักที
เลยมาปรึกษาเหล่ายุทธ 555 ต้องขอบคุณ nooonuii และ หยินหยาง มากนะครับ ถ้าผมรู้ที่มายังไงของโจทย์ จะมาบอกอีกทีนะครับ |
เอ่อ พี่noonuii กับ พี่หยินหยาง หาเอกลักษณ์จากที่ไหนอะคับ
เพราะโจทย์หลายๆข้อก็ใช้เอกลักษณ์ในการทำโจทย์ |
หาได้จากคุณ noonuii ครับ:D:laugh::D:laugh:
อ่านเยอะ ทำโจทย์เยอะ ก็จะเห็นเยอะเองครับ แต่พวกนี้สำหรับผมแล้วอยู่ไม่นาน เพราะอาจลืมได้แต่ถ้ารู้จักประยุกต์หัดสังเกตและชอบเล่นแร่แปรธาตุ ก็จะมีให้ใช้อยู่เรื่อยครับ:laugh::laugh: |
อ้างอิง:
ที่มาของสูตรก็ไม่ได้ง่ายๆ ผ่านการคิดมาหลายขั้นตอน ลองถูกลองผิดมั่วไปหมด ผมว่าอย่างแรกที่ควรมีก็คงเป็นการสังเกตหารูปแบบทั่วไปครับ มองดูที่โจทย์แล้วเห็นอะไรบ้างก็จดไว้ ผมเริ่มโจทย์ข้อนี้จากการมองว่าน่าจะมีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างเทอมในตัวเศษและตัวส่วน และคำตอบไม่น่าจะขึ้นกับจำนวนเทอม เพราะำผลบวกแบบนี้คงยากที่จะหาสูตรทั่วไปแน่ๆ จากนั้นก็ลองตรวจสอบว่าที่คิดไว้จริงหรือไม่โดยการเล่นกับโจทย์ที่มีตัวเลขน้อยๆ ผมก็เปลี่ยนจาก $10$ เป็น $2$ แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ปรากฎว่าได้ตัวเลข $1+\sqrt{2}$ โผล่มา ผมก็เริ่มเดาว่าน่าจะมีวิธีจับคู่แต่ละเทอมแล้วลดทอนลงมาได้ ตอนแรกนึกถึงสูตร telescoping sum แต่ลองไปแล้วไม่ได้ผล ก็เลยเปลี่ยนมาใช้ Gauss pairing tool (ลองหาอ่านจาก MYMATHS ฉบับเก่าๆดูครับ) โดยคิดว่าน่าจะมีสูตรที่อยู่ในรูป $\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}=\sqrt{c}\pm \sqrt{d}$ หรือ $\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}} + \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{c}\pm \sqrt{d}$ เพราะถ้าได้สูตรแบบนี้มาก็น่าจะเอาไปทำอะไรต่อได้ ก็ลองแก้สมการหา $c,d$ ดูปรากฎว่าใช้ได้ออกมาเป็นสูตรอย่างที่เห็น พอลองขีดๆเขียนๆไปสักพักก็พบว่าได้คำตอบ ใช้เวลาคิดไปเกือบสองชั่วโมงครับข้อนี้ |
สูตรนี้ สุดยอดด ครับ ทำเลขมาก็เยอะแยะ เห็นโจทย์ข้อนี้ สุดยอดครับ
วรยุทธแห่งหุบเขา mathcenter ได้บังเกิดขึ้นแล้ว บุตรของ Mathy ผู้เป็นตำนาน:haha: ประทับใจโจทย์จริงๆครับ |
เรื่องนี้น่าสนใจมากครับ มีเนื้อหาเพิ่มอีกมั้ยครับ?
ผมจะนำเรื่องนี้ขึ้นสัมมนา อยากได้ข้อมูลเพิ่ม สนใจมาก.. |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:13 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha