![]() |
Number Theory Marathon
แนวคิดนี้ได้มาจาก Mathlinks ครับ ก็คือคนแรกจะตั้งคำถาม แล้วให้คนที่ตอบได้โพสเฉลยลงไปแล้วตั้งคำถามข้อต่อไป แนวคำถามอยู่ในระดับ Pre-Olympiad ครับ
1.หาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ \(x^2-x+2xy+y^2-y=n^2\) |
อ้างอิง:
กรณีที่ A=1 และ B=-1 หรือกลับกัน จะได้ 4n=ฑ2 ซึ่งทำให้ n ไม่เป็นจำนวนเต็ม กรณีที่ A=1 และ B=1 (หรือทั้ง A และ B เป็นลบ) จะได้ n=0 ซึ่งทำให้ x+y=1 หรือ 0 ซึ่งไม่มีคู่อันดับใดในสองสมการนี้ที่ทั้ง x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น สมการที่กำหนดให้ด้านบนไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก เฉลยเสร็จแล้ว ก็เสนอข้อต่อไป ไม่ยากมากสองข้อย่อย... 2.1 จงหาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ \(n^4+6n^3+4n^2-8n+21\) เป็นจำนวนเฉพาะ 2.2 จงแยกตัวประกอบของ \(n^5+n^4+1\) |
2.1 n4+6n3+4n2-8n+21= (n+3)(n3+3n2-5n+7) ซึ่งแต่ละจำนวนมีค่ามากกว่า 1 เสมอ จะได้ n4+6n3+4n2-8n+21 เป็นจำนวนประกอบเสมอ
2.2 n5+n4+1=(n5+n4+n3)-(n3-1) = n3(n2+n+1)-(n-1)(n2+n+1) = (n3-n+1)(n2+n+1) ถามต่อครับ 3.จงหาจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ m,n ทั้งหมดที่ทำให้ m!+48=48(m+1)n |
หารด้วย 48 ทั้งสองข้าง จะได้สมการใหม่เป็น \(\frac{m!}{48}=(m+1)^n-1\)
เนื่องจาก \(\frac{m!}{48}\) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น \(m\geq 6\) เนื่องจากเมื่อ \(m\geq 6\) แล้ว \(m+1|m!\) เสมอ ดังนั้นสมการข้างต้นไม่มีคำตอบ ข้อ 4. ให้ \(p\) เป็นจำนวนเฉพาะและ \(x,y\) เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\] |
อ้างอิง:
ว่าแล้วก็ตอบข้อนี้ต่อ อ้างอิง:
โดยไม่เสียนัยให้ p|y ดังนั้นจะได้ y=kp (k เป็นจำนวนเต็มบวก) แทนกลับเข้าไปในสมการ จัดรูปแล้วหารตลอดด้วย p จะได้ kp=(k-1)x หรือ x=pk/(k-1) ซึ่ง x จะเป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ i) k/(k-1) เป็นจำนวนเต็มบวก กรณีนี้มี k=2 ตัวเดียว ดังนั้นจะได้ (x,y)=(2p,2p)เป็นคำตอบ ii) (k-1)|p อันหมายถึง 1=k-1 หรือ p=k-1 นั่นคือ k=2 (ตรงกับกรณีแรก) หรือ k=p+1 ซึ่งจะได้คำตอบเป็น (x,y)=(p+1,p(p+1)) ในทำนองเดียวกันจะได้ (x,y)=(p(p+1),p+1) เป็นคำตอบด้วย ### ข้อต่อไป... 5. จงหาจำนวนนับ m,n ทั้งหมดที่ทำให้ \(3^n+1=m^3\) |
ขอเริ่มจากความเห็นเกี่ยวกับข้อ 4. ก่อนนะครับ ผมว่าข้อนี้น่าจะทำได้ง่ายขึ้นมากถ้าสังเกตเห็นว่า\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\quad\Rightarrow
\quad xy-px-py=0\quad\Rightarrow\quad(x-p)(y-p)=p^2\]ต่อด้วยข้อ 5. ครับ อ้างอิง:
ถ้า n เป็นเลขคู่แล้ว 3n บ 1 (mod 8) ถ้า n เป็นเลขคี่แล้ว 3n บ 3 (mod 8) แสดงว่าไม่มีจำนวนนับ n ที่ทำให้ 8 หาร 3n + 1 ได้ลงตัว นั่นคือสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ ผมไม่มีโจทย์ใหม่ให้นะครับ เพราะโจทย์ข้อ 3 ของคุณ Char Aznable ยังไม่มีใครเฉลยเลย ก็ขอให้คิดว่าโจทย์อันที่เหลือนี้เป็นโจทย์ข้อต่อไปละกัน อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
- m!/48 เป็นเลขคู่ก็ต่อเมื่อ (m+1)n เป็นเลขคี่ นั่นคือ m>7 เป็นเลขคู่ จาก (1) เราจะได้ \(m!+48\equiv{}m!+(m-1)!\equiv0\ mod\ (m+1)\) หรือ \((m+1)|[(m-1)!-48]\)...(2) สำหรับทุก m>7 ซึ่งไม่เป็นจริงเมื่อ m=8,10,... C! ดังนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม### หมายเหตุ: (2) เป็นจริงสำหรับ n บางตัว เช่น n=5,7 (ซึ่งถูกคัดออกตั้งแต่แรกแล้ว) หากใครมีข้อเสนอแนะอย่างไรก็บอกกันได้ครับ ุ6. จงหาจำนวนเฉพาะบวก p,q ทั้งหมดที่ทำให้ \(3p+4=q^2\) |
อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
ขอโทษด้วยครับที่เขียนแบบทดไปหน่อย
- C! คือ contradiction ครับ ในที่นี้จงใจจะใช้ว่าเป็นข้อขัดแย้งกับข้อความที่ว่าเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มคู่ที่มากกว่าหรือเท่ากับแปด (ซึ่งดูหลวมไปนิด) แต่น่าจะใช้ได้ เพราะสมการ (2) ได้มาจาก (1) โดยตรง เลยลองโพสต์มาก่อน อีกอย่างลืมลบสามจุดท้าย 8,10,... - ไม่แน่ใจครับว่าคุณ warut เช็คการหารลงตัวโดยใช้ wilson's theorem หรือไม่ หากใช่ผมว่ามันน่าจะเป็นแบบนี้มากกว่า: 47|((47-1)!+1) (แต่ที่ยกมาก็ไม่ผิดนะครับ)หากใม่ใช่ ผมสนใจครับว่าคุณ warut เช็คการหารลงตัวอย่างไร และจะหา m ที่เหลือที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้อย่างไร ป.ล. ยังไงหากยังไม่เคลียร์จะมาแก้อีกทีครับ มารู้อีกทีหลังโพสต์ว่าโจทย์ข้อหกง่ายเกินไป ไว้มีโอกาสครั้งหน้าจะหาข้อที่ยากกว่านี้มาแก้ตัว ตอนนี้ขออ่านหนังสือสอบก่อน :D |
คือมันเริ่มจากที่ผมพยายามทำความเข้าใจกับการพิสูจน์ของคุณ nongtum ที่บอกว่า\[(m+1)\not|\,\,(m-1)!-48,
\quad m=8,10,\dots\]คิดๆเท่าไรก็ไม่ออกซักที เลยชักสงสัยว่ามันจะจริงรึเปล่า โดยเริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดก่อนคือ m + 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็มาเจอตัวอย่างค้านอันนั้นแหละครับ ใช่ครับ...ผมเช็คการหารลงตัวโดยใช้ Wilson's Theorem แต่ไม่ได้ใช้ตรงๆ ผมทำแบบนี้ครับ ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ เรารู้ว่า (p - 1)! บ -1 (mod p) แต่ (p - 1)! = (p - 1)(p - 2)! = p(p - 2)! - (p - 2)! บ -(p - 2)! (mod p) ดังนั้น (p - 2)! บ 1 (mod p) เราจึงได้ว่า 47 หาร 45! - 48 = (45! - 1) - 47 ลงตัวครับ จะเห็นว่าผมไม่ได้ใช้สิทธิ์ในการตั้งโจทย์มาสองครั้งแล้ว เป็นเพราะว่าผมอยากให้ช่วยกันทำข้อนี้ก่อนน่ะครับ ไม่อยากให้ปล่อยผ่านเลยไปเฉยๆ ถ้าใครสามารถทำได้ (โดยจะทำต่อจากของคุณ nongtum หรือเริ่มใหม่เลย) ก็มาช่วยกันหน่อย หรือคุณ Char Aznable จะมาเฉลยก็เชิญเลยนะครับ ป.ล. มีโจทย์ง่ายๆบ้างน่ะดีแล้วครับ :) |
เฉลยนะครับ
จาก wilson's theorem ถ้า m+1 prime จะได้ m!=-1 (mod m+1) จะได้ 47 = 0 (mod m+1) ดังนั้น m+1 = 47 ถ้า m+1 composite จะได้ m! = 0 (mod m+1) จะได้ 48 = 0 (mod m+1) ดังนั้น m+1 = 2,3,4,6,8,12,16,24,48 ไล่ทำทุกcase จะพบว่าไม่มีคำตอบ |
กรณีที่ \(m+1=47\) คิดยังไงครับ หรือว่าใช้ความถึกอย่างเดียว :eek:
|
อ้างอิง:
\(\underbrace{(m!+1)}_{\equiv0 (Wilson)}+47\equiv47\ \equiv0\ (mod\ m+1)\) เนื่องจาก m+1 prime หาร 47(จำนวนเฉพาะ)ลงตัว จะเหลือกรณีเดียวคือ m+1=47 ส่วนที่เหลือไม่ยากครับ ป.ล. คุณ Char Aznable มาใช้สิทธิ์ตั้งโจทย์ข้อใหม่ด้วยครับ |
กรณี m+1 = 47 ใช้ 472 หารฝั่งซ้ายไม่ลงตัวครับ
|
ผมขอต่อเลยแล้วกันนะครับ
7. จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับทุก \(a_n = 2^n+3^n+6^n-1\) เมื่อ \( n\) เป็นจำนวนเต็มบวกและ \(n \geq 1 \) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:11 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha