รากของสมการพหุนาม
ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และ $a,b$ เป็นจำนวนตรรกยะ ที่ $\sqrt{b}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่า ถ้า $a+ \sqrt{b}$ เป็นรากของ p(x) แล้ว $a- \sqrt{b}$ จะเป็นรากของ $p(x)$ ด้วย
รบกวนช่วยพิสูจน์หน่อยนะคะ คิดไม่ออกเลยค่ะ :confused: |
ลองดูวิธีผมก็แล้วกันนะครับ (มีที่ผิด)
พิสูจน์ : ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $n$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ที่มี $a+\sqrt{b}$ เป็นรากของสมการ จะได้ว่า $p(a+\sqrt{b})=0$ ต่อไปสมมติว่า $a-\sqrt{b}$ ไม่เป็นรากของ $p(x)$ โดยทฤษฎีบทตัวประกอบจะได้ว่ามีพหุนาม $q(x)$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งไม่มี $a-\sqrt{b}$ เป็นรากและสามารถเขียน $p(x)$ ได้ในรูป \[ p(x)=(x-(a+\sqrt{b}))q(x)\] ถ้าเราคูณกระจายออกมาจะพบว่า $p(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งขัดแย้ง แสดงว่า $p(x)$ ต้องมี $a-\sqrt{b}$ เป็นราก รากหนึ่ง |
อ้างอิง:
ในกรณีนี้รากเป็นจำนวนอตรรกยะเราจึงสรุปได้แค่ว่า $Q(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงครับ โดยขั้นตอนวิธีการหารพหุนามใน $\mathbb{Q}[x]$ เราจะได้ $$P(x)=(x^2-2ax+a^2-b)Q(x)+cx+d;c,d\in\mathbb{Q}$$ แทนค่า $x=a+\sqrt{b}$ ในสมการข้างบนจะได้ $$c(a+\sqrt{b})+d=0$$ สมมติว่า $c\neq 0$ เราจะได้ $\sqrt{b}=-a-\dfrac{d}{c}$ เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งขัดแย้ง ดังนั้น $c=0$ ซึ่งจะได้ $d=0$ ด้วย ดังนั้น $a-\sqrt{b}$ เป็นรากของ $P(x)$ |
โอ้ วิธีผมมีที่สรุปผิด ขอบคุณพี่ Noonuii ที่ชี้แนะครับ
|
:great:เป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมมากค่ะ แบบนี้คงเป็นการยากที่ข้าพเจ้าจะคิดเองได้
:kiki: ขอบคุณมากนะคะ |
:please: ถ้าไม่เป้นการรบกวนมากขออีกซักข้อนะคะ
ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ที่ 3 หาร $n$ ไม่ลงตัว แล้ว $x^2+x+1 (x+1) | ^n-x^n-1$ |
อ้างอิง:
Theory of Equations |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:18 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha