โจทย์ในรอบนี้ เรียงข้อตามลำดับคะแนน
โปรดศึกษากติกาและวิธีการตอบให้เข้าใจในกระทู้กฎ กติกา มารยาท ก่อนตอบหรือตั้งคำถามด้วยครับ

หากมีข้อสงสัยหรือเสนอแนะเกี่ยวกับโจทย์และการส่งคำตอบ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 22:30 น. วันจันทร์ที่ 10 สิงหาคม 2552 เท่านั้น
และจะไม่รับการถามทางข้อความส่วนตัว
เจ้าของโจทย์ สามารถมาช่วยตอบข้อสงสัยได้ตามสมควร โดยไม่ต้องรอให้ผู้ดูแลเป็นผู้ตอบ แต่ห้ามใบ้หรือชี้แนะวิธีทำเด็ดขาดไม่ว่าจะโดยวิธีใดก็ตาม

สำหรับเจ้าของโจทย์ที่ไม่ได้รับการคัดเลือกใช้แข่ง สามารถใช้สิทธิ์ขอถอนคำถามออกจากการเสนอ เสนอให้คำถามไปอยู่ใน longlist หรือยกยอดไปใช้เสนอเป็นคำถามรอบถัดไปได้ในกระทู้คำถามของตนเองครับ

หมดเวลาส่งคำตอบ: 20:00 น. วันจันทร์ที่ 7 กันยายน 2552

คะแนนเต็มสูงสุด 28 คะแนน

1. (5 คะแนน) สำหรับจำนวนนับ $n$ ใดๆ นิยาม $n!!=(n!)!$ เช่น $3!!=(3!)!=6!=720$
ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า $$\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)!!}{a_1!!a_2!!\cdots a_n!!}$$ เป็นจำนวนเต็ม
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

2. (5 คะแนน) จงหาจำนวนนับทั้งหมดที่สามารถเขียนได้ในรูป $\dfrac{4ab}{ab^2+1}$ สำหรับบางจำนวนนับ $a,b$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

3. (6 คะแนน) ให้ $x,y,z>0$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{x^2+2}{\sqrt{z^2+xy}}+\dfrac{y^2+2}{\sqrt{x^2+yz}}+\dfrac{z^2+2}{\sqrt{y^2+zx}}\geq 6$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

4. (6 คะแนน) หาค่าของจำนวนจริง $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$$\begin{eqnarray}8(x+\frac{1}{x}) &=& 15(y+\frac{1}{y}) = 17(z+\frac{1}{z})\\
xy + yz + zx &=& 1\\
\end{eqnarray}$$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

5. (6 คะแนน) กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a \not= 0$ และ $a \not= b$
และรากทั้งหมดของสมการ $ax^{3}-x^{2}+bx-1 = 0$ เป็นจำนวนจริงและเป็นบวก
จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $P = \dfrac{5a^{2}-3ab+2}{a^{2}(b-a)}$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

คะแนนเต็มสูงสุด 30 คะแนน

1. (3 คะแนน) สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $BC = 3AB$
ถ้า $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ที่ทำให้ $BP = PQ = QC$
แล้วพิสูจน์ว่า $\angle DBC + \angle DPC = \angle DQC$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

2. (4 คะแนน) กำหนดให้ $P(n)$ และ $S(n)$ แทนผลคูณและผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับ $n$ ตามลำดับ
เช่น $P(23) = 6$ และ $S(23) = 5$
ถ้า $N$ เป็นจำนวนนับที่เป็นเลข 2 หลัก โดยที่ $N = P(N) + S(N)$ แล้วเลขหลักหน่วยของ $N$ เท่ากับเท่าใด
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

3. (4 คะแนน) กำหนดให้ $a,b,c>1$ และ
$~~~~~a^x=bc$
$~~~~~b^y=ca$
$~~~~~c^z=ab$
จงหาค่าของ $x+y+z-xyz$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

4. (4 คะแนน) โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน $2552$ คน นักเรียนแต่ละคนจะมีรหัสประจำตัวซึ่งเป็นเลข $5$ หลัก และมีค่าตั้งแต่ $20009$ ถึง $22560$
ทางโรงเรียนต้องการแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่มเพื่อจัดนิทรรศการ โดยนักเรียนที่มีผลรวมของเลขโดดในรหัสประจำตัวเท่ากันจะอยู่กลุ่มเดียวกัน
เช่น นักเรียนที่มีรหัส $20009$ จะอยู่กลุ่มเดียวกับ นักเรียนที่มีรหัส $21116$ เป็นต้น
นักเรียนหนึ่งกลุ่มจะต้องใช้ห้องเรียนหนึ่งห้องในการจัดนิทรรศการ และนักเรียนทุกคนต้องเข้าร่วม

กิจกรรมในครั้งนี้ จงหาว่าโรงเรียนจะต้องใช้ห้องทั้งหมดกี่ห้อง เพื่อให้นักเรียนแต่ละกลุ่มนำไปใช้จัดนิทรรศการ
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

5. (5 คะแนน) ถ้า $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=2553$$
แล้วค่าของ $\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ เป็นเท่าใด
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

6. (5 คะแนน) รูปสามเหลี่ยม ABC มีอัตราส่วน มุมB:มุมA:มุมC เป็น 2:3:4
จุด D เป็นจุดบน AC ที่ทำให้สามเหลี่ยม BDC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ถ้า AB ยาว $12\sqrt[4]{3}$ หน่วยแล้ว
สองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADB บวกกับพื้นที่รูปสามเหลี่ยม BCD เป็นเท่าใด
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

7. (5 คะแนน) กำหนดให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังต่อไปนี้
1. เลขโดดในทุกหลักของ $N$ เป็นเลขเดียวกัน
2. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $333...$ ( มี 3 เรียงกัน 128 ตัว )
3. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $3^3$
จงหาว่าจำนวนเต็มบวก $N$ ที่น้อยที่สุดมีกี่หลัก
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

คะแนนเต็มสูงสุด 20 คะแนน

1. (5 คะแนน) หาค่า $A$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่รวมกันเท่ากับ $1$ จะมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ $A$ โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส $2$ รูปนั้นสามารถบรรจุอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ (โดยไม่มีพื้นที่ซ้อนทับกัน)
สมมติให้ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

2. (5 คะแนน) กำหนดให้ $f:\mathbb{R}-\left\{0,1\right\}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยที่
$f(x) + f(1-\frac{1}{x}) = 1+x$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}-\left\{0,1\right\}$
จงหาค่าของ (รูปทั่วไปของ) $f(x)$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)

3. (5 คะแนน) ให้ $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นคำตอบของสมการ $x+\dfrac{1}{x}=2\sin{\frac{\pi}{32}}$ จงหาค่าของ $x^4+\dfrac{1}{x^4}$ (ตอบในรูปที่ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

4. (5 คะแนน) ในการแข่งขันฟุตบอลรายการหนึ่งมีทีมเข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด $4$ ทีม
การแข่งขันเป็นแบบพบกันหมดคู่ละ $1$ ครั้งเท่านั้น และมีเกณฑ์การให้คะแนนดังนี้

ทีมชนะได้ $3$ คะแนน
ถ้าเสมอกันได้ทีมละ $1$ คะแนน
ทีมแพ้ไม่ได้คะแนน

ถ้าจบการแข่งขันแล้วปรากฎว่าทีมที่ได้อันดับที่ $4$ มีคะแนนรวม $4$ คะแนน
จงหาคะแนนรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทีมที่ได้อันดับที่ $1$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)