ข้อสอบ TMC รอบสอง
 

ใครจำข้อสอบ TMC รอบสองได้บ้าง มาแชร์กันค่ะ ปีไหนก็ได้ค่ะ

#ตอนที่ 3 3rd TMC M.2
เป็นตาราง $13\times 13$ นะคะ

#ตอนที่ 1 3rd TMC M.2
$2^n=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{512}+1)+1$
จงหาว่า n=?

#3rd TMC M.2

#3rd TMC M.2
กำหนดให้ $a=(2-\sqrt{3})^2+(2+\sqrt{3})^2$
ถ้าสามเหลี่ยมมีความยาวด้าน 3 ด้าน เท่ากับ a, a+1 และ a-1 ตามลำดับ จงหาว่าสามเลี่ยมนี้มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

#3rd TMC M.2
$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=n$
จงหาว่า n=?
ก. 1
ข. $\frac{1}{a+b+c}$
ค. $\frac{2(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
ง. (จำไม่ได้)
จ. ไม่มีข้อใดถูกต้อง

หาค่าaได้คือ14
จะได้ว่า แต่ละด้านของสามเหลี่ยมยาว 13,14,15 ตามลำดับ
และใช้ Heron's Formula ก็ได้ครับ

วิธีลัด ใช้ได้เมื่อ n เป็นจำนวนจริงที่เป็นค่าคงตัวใด ๆ :haha:

แทน a = 2, b = 1, c = 0 จะได้ นิพจน์ที่ให้มาเท่ากับ 0

วิธีจริง

$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)+(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} ... (*)$

ให้ $P(a) = (a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)$

จะได้ว่า $P(b) = 0$

ในทำนองเดียวกัน

ถ้าให้ $P(b) = (a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)$

จะได้ว่า $P(c) = 0$

และ ถ้าให้ $P(c) = (a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)$

จะได้ว่า $P(a) = 0$

โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ $(a-b)(b-c)(c-a)$ เป็นตัวประกอบของ $P(a)$

นอกจากนี้ $P(a)$ ยังเป็น cyclic polynomial ดีกรี 3

แสดงว่า $(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c) = k(a-b)(b-c)(c-a)$

เทียบสัมประสิทธิ์ของ $a^2$ จะได้ $k = -1$

ดังนั้น $(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

ดังนั้นตัวเศษของจึงตัดกันได้ 0

ใช้เอกลักษณ์นี้ได้ครับ