Nice formulae in Number Theory
 

=============================================
Prove that \(\displaystyle \sum_{n\le x}\varphi(n)\left\{\,\dfrac{x}{n}\right\}=\dfrac{x^2}{\zeta(2)}-\dfrac{\left[\,x\right](\left[\,x\right] +1) }{2} +O(\log x)\)
=============================================

Prove that \(\displaystyle \sum_{n\le x}\left\{\,\dfrac{x}{n}\right\} =(1-\gamma)x+O(\sqrt{x})\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle \sum_{\substack{1\le k\le n\\\gcd(k,n)=1}} k=\dfrac{n}{2}\varphi(n)\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle\prod_{d|n}d=n^{\tau(n)/2}\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle\sum_{n\le x}\dfrac{\tau(n)}{n}=\dfrac{1}{2}\log^2 x+2\gamma\log x+(\gamma^2-\gamma_1)+O\left(\dfrac{\log x}{x}\right)\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle\sum_{n\le x} \dfrac{\mu(n)}{n^2}=\dfrac{1}{\zeta(2)}+O\left(\dfrac{\log x}{x}\right)\Longrightarrow \sum_{n\ge 1} \dfrac{\mu(n)}{n^2}=\dfrac{1}{\zeta(2)}\)
=============================================

Difficult ones, and I've just seen it.
$$\pi(x)=\sum_{1\not =k\le x}\left\lfloor\,\dfrac{\varphi(k)}{k-1}\right\rfloor $$
$$\pi(x)=\sum_{\substack{d|p_1p_2\dots p_\ell \\ \sqrt{x}\ge p_i\in\mathscr P}}\mu(d)\left\lfloor\,\dfrac{x}{d}\right\rfloor +\pi(\sqrt{x})-1$$

$$\displaystyle \sum_{p\le x}\dfrac{\chi_2(p)}{p}=\int_{2}^x\left(\dfrac{\sum_{p\le t}\dfrac{\chi_2(p)\log p}{p}}{t\log^2 t}\right) dt+O\left(\dfrac{1}{\log x}\right)$$

สองข้อที่ไม่ได้ใช้ asymptotic approximation ใช้แนวคิดคล้ายๆกันครับ

กำหนดให้ $n \ge 2$ และ $P(x)$ แทนข้อความว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $1 \le x < n$ และ $\gcd(x,n)=1$

สังเกตว่า $P(k)$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $P(n-k)$ เป็นจริง เลยได้ว่าผลรวมดังกล่าวสามารถเขียนได้สองแบบคือ $A:=\sum_{P(k)} k$ หรือ $A=\sum_{P(n-k)} n-k=\sum_{P(k)} n-k$ บวกกันหารสองก็จะได้
$$A=\frac{1}{2} \sum_{P(k)} n = \frac{1}{2} \cdot \varphi(n) \cdot n$$
เมื่อ $\varphi(n)$ คือ Euler's totient function


กำหนดให้ $n \ge 2$ และ $P(x)$ แทนข้อความว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x \mid n$

สังเกตว่า $P(d)$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $P(\frac{n}{d})$ เป็นจริง เลยเขียนผลคูณได้สองแบบคือ $A:=\prod_{P(d)}d$ หรือ $A=\sum_{P(\frac{n}{d})} \frac{n}{d}=\sum_{P(d)} \frac{n}{d}$ คูณกันแล้วถอดสแควร์รูทได้
$$A=\sqrt{\prod_{P(d)} n}=n^{\frac{\tau(n)}{2}}$$
เมื่อ $\tau(n)$ คือ divisor funtion อันดับ 0 (จำนวนของตัวหารบวกของ $n$)