โจทย์มอดุโล ช่วยหน่อยครับ
 

1. จงหาจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทำให้
$1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2\equiv 0(mod n)$
2. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวกที่เขียนในรูป 123456789123456789...123456789 ที่หารด้วย 987654321 ลงตัว
3. ให้ k เป็นจำนวนเต็มบวกจงหาจำนวนเต็ม n ที่มากที่สุดที่ทำให้ $3^n| 10^k-1$
4. จงหาจำนวนเฉพาะ p ทุกจำนวนที่ $504| p^6-1$:please::please::please::please:

ทุกจำนวนเฉพาะ $p\neq 2,3,7$

พิสูจน์ว่า

$p^2\equiv 1\pmod{8}$

$p^6\equiv 1\pmod{7}$

$p^6\equiv 1\pmod{9}$

ใช้ออยเลอร์ก็ได้ครับยกเว้นอันแรกแจงกรณีก็ออก

ข้อ 1 ใช่ $3a+2$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนคี่รึเปล่าครับ

1. วิธีง่ายที่สุดคงเป็น
$1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2 = \dfrac{1}{6} (n-1)n(2n-1) \ , \ n > 1$

$let \ 1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2 \equiv 0 \ (mod \ n) $

$\therefore \dfrac{1}{6} (n-1)(2n-1) \in \mathbb{Z}$

$\therefore 6$ | $(n-1)(2n-1)$

$n \equiv 1 \ (mod \ 6) \ \bigvee \ n \equiv 5 \ (mod \ 6)$

แต่ $n \not= 1$

$\therefore n \equiv 1 \ (mod \ 6) \ \bigvee \ n \equiv 5 \ (mod \ 6) \ , \ n>1$

2. $123456789123456789...123456789$ เขียนอยู่ในรูป

$123456789(1+10^9+10^{18}+\cdots+10^{9(n-1)}) \ , \ n \in \mathbb{N}$ (สมมติมี 123456789 n ตัว)


เนื่องจาก

$10^{\phi(987654321 \times (10^9-1))} \equiv 1 \ (mod \ 987654321 \times (10^9-1))$

ให้ $n = \phi(987654321 \times (10^9-1))$

จะได้ $10^{9n} \equiv 10^n \equiv 1 \ (mod \ 987654321 \times (10^9-1))$

นั่นคือ $987654321(10^9-1)$ | $(10^{9n}-1)$

$987654321$ | $\dfrac{10^{9n}-1}{10^9-1}$

$987654321$ | $(1+10^9+10^{18}+\cdots+10^{9(n-1)})$

$987654321$ | $123456789(1+10^9+10^{18}+\cdots+10^{9(n-1)})$


เห็นได้ชัดว่า $n \in \mathbb{N}$
ดังนั้นจะมี $n = \phi(987654321 \times (10^9-1))$ ซึ่ง

$987654321$ | $123456789123456789...123456789$

จะได้ $10^{9n} \equiv 10^n \equiv 1 \ (mod \ 987654321 \times (10^9-1))$
ได้มายังไงเหรอครับ

จากที่ให้ $n = \phi(987654321 \times (10^9-1))$
แต่ $10^{\phi(987654321 \times (10^9-1))} \equiv 1 \ (mod \ 987654321 \times (10^9-1))$

ดังนั้น $10^n \equiv 1 \ (mod \ 987654321 \times (10^9-1))$

แต่ $10^{9n} = (10^n)^9$

ดังนั้น $10^{9n} \equiv 1^9 \equiv 1 \ (mod \ 987654321 \times (10^9-1))$

ข้อ3ทำไงหรอครับ 2 หรอครับ

ข้อ 3
$10^k-1=(3^2)(10^{k-1}+10^{k-2}+10^{k-3}+...+10^0)$
ก็จะเห็นได้ว่า ในวงเล็บหลังสามารถหารด้วย 3 ลงตัวได้ เมื่อ $3\mid k$

ตอบ เมื่อสามารถจัด k ให้อยู่ในรูป $k=p \times3^m$ได้ ,$n=m+2$
และเมื่อ $3\nmid k$,$n=2$