TUGMOs 54 ม.ต้น เฉลย ตอน 2 ข้อ 2
 

โจทย์

$ sf(12)=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\cdot 5!\cdot 6!\cdot 7!\cdot 8!\cdot 9!\cdot 10!\cdot 11!\cdot 12! $

$1!=1$
$2!=1\cdot 2$
$3!=1\cdot 2\cdot 3$
$4!=1\cdot 2^3\cdot 3$
$5!=1\cdot 2^3\cdot 3\cdot 5$
$6!=1\cdot 2^4\cdot 3^2\cdot 5$
$7!=1\cdot 2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$
$8!=1\cdot 2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$
$9!=1\cdot 2^7\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$
$10!=1\cdot 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$
$11!=1\cdot 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$
$12!=1\cdot 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$

$ sf(12)=1\cdot 2^{56}\cdot 3^{26}\cdot 5^{11}\cdot 7^6\cdot 11^2$

จากโจทย์ $\frac{sf(12)}{x!} = y^2 $

หมายความว่า $sf(12)$ หารด้วย X! แล้วได้จำนวนที่สามารถจัดให้อยู่ในรูปกำลังสองได้
สังเกต $7^6$ และ $11^2$ เป็นจำนวนที่สามารถจัดให้อยู่ในรูปกำลังสองได้ ดังนั้น X! ไม่ใช่ 7! ถึง 12!
ตัดคำตอบทิ้งได้ เหลือ $1!$ ถึง $6!$

สังเกต $5^{11}$ ใน $sf(12)$ กำลังเป็นเลขคี่ ต้องมีเลข 5 อย่างน้อยหนึ่งตัวไปหาร ดังนั้น $X!$ ไม่ใช่ $1!$ ถึง $4!$ เหลือ 5! และ 6!

ดูกำลังของ เลข 2 และ เลข 3 ใน 6! เป็นเลขคู่ทั้งสองจำนวน
ดังนั้น x! = 6! หรือ x = 6 ตอบ ข้อ ข

ตรวจสอบจะได้
$\frac{sf(12)}{6!} = \frac{1\cdot 2^{56}\cdot 3^{26}\cdot 5^{11}\cdot 7^6\cdot 11^2}{1\cdot 2^4\cdot 3^2\cdot 5} = 2^{52}\cdot 3^{24}\cdot 5^{10}\cdot 7^6\cdot 11^2 $