ขอถามแบบฝึกหัด ในค่าย สอวน.ค่าย 1
 

ขอถามหน่อยนะคะ เรื่องอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ค่ะ

จงแสดงว่า $sin x + sin 3x + sin 5x + ... + sin (2n-1)x = \frac{sin^2(nx)}{sin x} $ เป็นจริง สำหรับทุก $n\in Z^+$

จงแสดงว่า $cos (x+n\pi )=(-1)^ncosx$ เป็นจริง สำหรับทุก $x\in R$ และ $n\in Z^+$

1. $-2sinAsinB = cos(A+B)-cos(A-B)$

2. แยก n คู่คี่เลยครับ

ค่ายเดียวกันเลยครับ
ให้ $k\in \mathbb{I}^+ และ p(k) เป็นจริง$
[จะแสดงว่า $p(k+1) เป็นจริง$]
$p(k)=cos(x+k\pi)$
$p(k+1)=cos(x+(k+1)\pi)$
$=cos[(x+k\pi)+\pi]$
$cos(x+k\pi)cos\pi-sin(x+k\pi)\sin\pi$
$แต่cos(x+k\pi)=-1^{k}cosx\ และ sin\pi=0และ cos\pi=-1$
$=-1^{k+1}cosx$

แน่ใจเหรอครับ

แก้แล้วครับ ขอบคุณครับ

รบกวนหน่อยนะคะ

ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มี AC และ BD เป็นเส้นทแยงมุม
ถ้า $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$ แล้วจงพิสูจน์ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่วงกลมล้อมรอบได้

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีมุม $\angle A=70^{\circ} $ เล้นแบ่งครึ่งมุมภายในของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุด I
ถ้า CA+AI=BC แล้วจงหามุม $\angle B$

สมมติว่าไม่มีวงกลมล้อม

ให้ $\overline{AE} $ เป็นเส้นสะท้อนของ $\overline{AD} $ ที่มีเส้นแบ่งครึ่งมุม $B\hat AC$ เป้นเส้นสะท้อน

ให้ $x$ เป็นจุดบน $\overline{AE} $ ที่ทำให้ $A\hat XB = A\hat CD$ จะได้ว่า $\triangle AXB\sim \triangle ACD$ ดังนั้น $\dfrac{AX}{AC} =\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BX}{CD} $ จะได้ว่า $\triangle AXC\sim \triangle ABD$

$\begin{array}{ll}
AC\cdot BD &= XC\cdot AD \\

&<(XB+BC)\cdot AD \qquad \because ABCD ไม่มีวงล้อม \\

&=XB\cdot AD+BC\cdot AD \\

&=AB\cdot CD+BC\cdot AD

\end{array}$

สร้าง สามเหลี่ยม $CI'A'$ ที่เกิดจากหมุน สามเหลี่ยม $CAI$ รอบจุด $C$ จน $CA'$ อยู่บน $BC$

ไล่มุมไปเรื่อยๆ จะได้ว่า $\angle CBI' = 17.5^{\circ} $ และ $\triangle CIB \cong \triangle CI'B $

ดังนั้น จะได้ว่า $\angle ABC = 2\angle CBI = 2\angle CBI' = 35^{\circ}$

รบกวนด้วยค่ะ

จงหาค่าของ $\frac{1}{1\cdot 2\cdot3 } +\frac{1}{2\cdot 3\cdot4 } +...+ \frac{1}{n\cdot (n+1)\cdot(n+2) } $

จงหาค่าของ $\frac{3}{1^2\cdot 2^2} +\frac{5}{2^2\cdot 3^2} +\frac{7}{3^2\cdot 4^2}+...+\frac{29}{14^2\cdot 15^2}$

จงพิสูจน์ว่า $\left\lfloor\frac{n+2^0}{2^1}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n+2^1}{2^2}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n+2^2}{2^3}\right\rfloor +...+\left\lfloor\ \frac{n+2^{n-1}}{2^n}\right\rfloor =n$

จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{k^2-\frac{1}{2} }{k^4+\frac{1}{4} } $

1. สังเกตว่า $\displaystyle{\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)}$

2. สังเกตว่า $\displaystyle{\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}}$

3. สังเกตว่า $\displaystyle{\left\lfloor\frac{n+2^{k-1}}{2^k}\right\rfloor}$ คือจำนวนของจำนวนนับทั้งหมดที่น้อยกว่า $n$ ซึ่งหารด้วย $2^{k-1}$ ลงตัว แต่หารด้วย $2^k$ ไม่ลงตัว