โจทย์ลองฝึกจากIWYMIC
 

ลองโหลดมาดูในปี2011กับ2010....เป็นข้อสอบของการคัดตัวของประเทศไต้หวัน ผมเลือกข้อที่เป็นพีชคณิตเพราะมีตัวหนังสือน้อย พอจะใช้google translateแปลได้ ข้อที่เนื้อหายาวๆ รู้สึกว่ากูเกิลจะแปลไม่ได้เนื้อความ

5ข้อแรกมาจากปี 2011

1.$x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ

$\dfrac{5}{2x} +\dfrac{2}{5y} =\dfrac{1}{100} $

จงหาว่ามีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่

2.ค่า$x,y,z$ สอดคล้องกับสมการนี้

$x+y+z=4$

$x^2+y^2+z^2=6$

$x^3+y^3+z^3=10$

จงหาค่าของ $\frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} $

3.กำหนดให้ $a$ และ $\frac{a^3+25}{a+5} $ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่มากที่สุดของ $a$

4.ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่$x^2y^3=6^{12}$ มีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่ที่สอดคล้องกับสมการนี้

5.ให้ $N=\underbrace{6666...666}_{2011 ตัว} 5 \times 1\underbrace{3333...333}_{2012 ตัว}$ จงหาเลขท้าย5ตัวสุดท้ายของ$N$

เดี๋ยวค่ำๆจะเอามาลงอีก 5 ข้อ ใครสนใจลองทำ 5 ข้อแรกไปก่อนเลย

อีก 6 ข้อเป็นของปี2010

6.จงหาเศษจากการหาร $9^{2010}$ ด้วย $11$

7.จงหาค่าของ $1^3+2^3+3^3+...+99^3+100^3$

8.กำหนดให้ $p,q,r$ และ $s$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ $0$ .ถ้า$r,s$ เป็นรากของสมการ $x^2+px+q=0$ และ $p,q$ เป็นรากของสมการ $x^2+rx+s=0$.ผลบวกของ $p+q+r+s$ เท่ากับเท่าไหร่

9.ให้ $a,b,c,d$ และ $e$ เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันห้าจำนวน ซึ่งสอดคล้องกับ
$(4-a)(4-b)(4-c)(4-d)(4-e)=12$
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e$

10. ถ้า $N=1+11+111+...+\underbrace{111...111}_{2010 ตัว} $ แล้ว จงหาเลขห้าหลักท้ายของ $N$

11.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $100 \leqslant n \leqslant 400$. ถ้า $\frac{n^3-99}{n^3-92}$ ไม่ใช่เศษส่วนอย่างง่าย จงหาค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่ามีกี่จำนวน
(ข้อ 11.ไม่มั่นใจว่าเข้าใจโจทย์ถูกหรือไม่ คำว่า simple fraction แปลเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ซึ่งไม่แน่ใจความหมายคือ ยังมีตัวประกอบร่วมกันได้ใช่หรือเปล่า)

ข้อสอบปี 2010.....

ข้อสอบปี2011

พรุ่งนี้จะเข้ามาแปะเฉลยครับ เชิญลุยกันได้เลยครับ

เฉลย
ข้อ2.มี 2 วิธี วิธีแรกที่ทำกันในนี้
ข้อ3....แปลงรูปสมการอย่างที่ทำกันครับ
ข้อ6...ใช้Fermatt's Little Theorem $9^{10} \equiv1 \pmod{11} $
ข้อ 7,9....เฉลยแบบเดียวกับที่ทำในกระทู้
ข้อ8....แก้สมการธรรมดา
ข้อ10...ทำแบบที่ลุงBankerอธิบาย

ผมยังไม่มีเวลาทำ แต่ยังไงลองเอาลิงค์หรือไฟล์ข้อสอบมาช่วยกันงมสิครับ

เห็นได้ชัดเลยว่า $xy+yz+zx=5$

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$

$10=4(6-5)+3xyz$

$xyz=2$

ผมหาได้แต่เป็นจำนวนเต็มอ่ะครับ จะได้ค่าแค่ 1,1,2 เท่านั้น

$(x,y,z)=(1,1,2) $ เรียงสับเปลี่ยนด้วย

$\dfrac{a^3+25}{a+5}=\dfrac{a^3+125-100}{a+5}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2-5a+25-\dfrac{100}{a+5}$

a+5 ต้องเป็นตัวประกอบของ 100 จะได้ a=95

ข้อแรกไม่แน่ใจ น่าจะตอบ 25 คู่
ข้อสอง $5=xy+yz+zx$ , $25 = (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 + 2xyz(x+y+z)$
ใช้ $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ คู่ด้วย จะได้$xyz=2$
จะได้ $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 = 9$ คำตอบคือ $\frac{9}{4}$

ข้อสาม จัดรูปก็ออกแล้ว $\frac{a^3+25}{a+5} = a^2-5a+25-\frac{100}{a+5} $
เพราะฉะนั้น ค่ามากที่สุดของ $a$ คือ $95$
ข้อ 4 ตอบ 35 (ถ้าผิดก็ขอโทษด้วย)

$ N = 5 \times 13 = 65$

$ N = 65 \times 133 = 8645$

$ N = 665 \times 1333 = 886445$

$ N = 6665 \times 13333 = 88864445$

$ N = 66665 \times 133333 = 8888644445$

$ N = 666665 \times 1333333 = 888886444445$
.
.
.
$N=\underbrace{6666...666}_{2011 ตัว} 5 \times 1\underbrace{3333...333}_{2012 ตัว}$


พอมองออกแล้วนะครับ ขี้เกียจพิมพ์ต่อ เอาเป็นว่าตอบ 44445

$1^3+2^3+3^3+...+99^3+100^3 = \left(\frac{n}{2}(n+1)\right)^2 = \left(\frac{100}{2}(100+1)\right)^2 = (5050)^2$

\[\begin{array}{r}
1+ \\
11+ \\
111+ \\
1111+ \\
11111+ \\
111111+ \\
............. + \\
................ + \\
.................. + \\
.................. 789900 & & \\

\end{array}\]

หลักหน่วยรวมได้ 2,010 ใส่ 0 ทด 201
หลักสิบ รวม 2,009 บวกทด 201 = 2,210 ใส่ 0 ทด 221
หลักร้อย รวม 2,008 บวกทด 221 = 2,229 ใส่ 9 ทด 222
หลักพัน รวม 2,007 บวกทด 222 = 2,229 ใส่ 9 ทด 222
หลักหมื่น รวม 2,006 บวกทด 222 = 2,228 ใส่ 8 ทด 222
หลักแสน รวม 2,005 บวกทด 222 = 2,227 ใส่ 7 ทด 222

ห้าหลักสุดท้ายคือ 89,900


หรืออีกวิธี ใช้การแจกแจง

หลักหน่วย = 2,010 x1 = 2,010
หลักสิบ = 2,009 x 10 = 20,090
หลักร้อย = 2,008 x100 = 200,800
หลักพัน = 2,007 x 1,000 = 2,007,000
หลักหมื่น = 2,006 x 10,000 = 20,060,000
หลักแสน = 2,005 x 100,000 = 200,500,000

รวมกันได้ 222,789,900

ห้าหลักสุดท้ายคือ 89,900

$p,q$ เป็นรากของสมการ $x^2+rx+s=0$

$(x-p)(x-q)=0$

$x^2 -(p+q)x +pq$

โดยการเทียบ สปส.

$r = - (p+q)$

$s = pq$

ทำนองเดียวกัน
$r,s$ เป็นรากของสมการ $x^2+px+q=0$

$x^2-(r+s) +rs$

$p = -(r+s)$

$ q = rs$

$p+q+r+s = rs, \ \ pq$

ใช้วิชามาร แยกตัวประกอบ 12 = (1)(-1)(2)(-2)(3)

$4-a = 1 \ \to \ a = 3$

$4-b = -1 \ \to \ b = 5$

$4-c = 2 \ \to \ c = 2$

$4-d = -2 \ \to \ d = 6$

$4-e = 3 \ \to \ e = 1$

$a+b+c+d+e = 3+5+2+6+1 = 17$

$9 \equiv -2 \pmod{11}$

$9^{2010} \equiv 2^{2010} \pmod{11}$

$2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$

$2^{2010} \equiv 1 \pmod{11}$

ข้อ6 $9^2010=3^4020$
$3 \equiv 3 \pmod{11}$
$3^2 \equiv 9 \pmod{11}$
$3^3 \equiv 5 \pmod{11}$
$3^4 \equiv 4 \pmod{11}$
$3^5 \equiv 1 \pmod{11}$
จะเห็นว่า 5 เป็นตัวประกอบของ 4020
เหลือเศษ 1 ครับ

Attachment 5974

ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีด้านยาวด้านละ 30 หน่วย E ตั้งอยู่บน CD และ F ตั้งอยู่บน BC ทำให้ CF = CE = x
ถ้าสี่เหลี่ยม FCEG มีพื้นที่ 75 ตารางหน่วย จะหาค่าของ x

Attachment 5975

จากรูป
$\frac{y}{30-x} = \frac{37.5}{x}$

$xy = 1125 -37.5x$

$ x (y+37.5) = 1125$ ......(1)


$\dfrac{375-y}{30-x} = \dfrac{y+75}{x}$

$y = \dfrac{15x-75}{2}$ .........(2)

แทนค่า $y$ ใน (1)

$ x= 5\sqrt{6} $

โอ้โห...ลุงBankerแปลจีนให้ด้วย....สุดยอดครับลุง
ข้อ8....
$p+q=-r\rightarrow p+q+r=0$
$pq=s$
$r+s=-p\rightarrow p+r+s=0$
แก้สองสมการได้ $q=s$
จาก $pq=s$ และ $q=s$ แล้ว$p=1$
$rs=q$ และ $pq=s$
$r(pq)=q \rightarrow r=1 $
ได้$q=-(r+p)=-2$
$s=-(p+r)=-2$
$p+q+r+s=s=-2$

ไม่ได้แปลครับ คิดเอาเองว่าโจทย์น่าจะเป็นแบบนี้ :haha:

เซียนจริงๆ :died: :please: