โจทย์ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42 ไม่เข้าใจ
 

เป็นโจทย์สามาคมคณิตศาสตร์ปี 42
ถ้า $ x^{ 2 }-x+1=0 $ แล้ว $x^{9 } +x^{ -9 }+x^{6 } +x^{ -6 }+x^{3 }+x^{ -3 }+1$ มีค่าเท่าใด
ก. -3/2 ข. -1 ค. 1 ง. 7
ข้อนี้เฉลยข้อ ข. วิธีคิด
$x^{ 2}-x+1=0 $
$(x+1) (x^{ 2 }-x+1)=0 $
$x^{3 } +1=0 $
แล้วแทนค่า x ออกมาได้ = -1 แต่ผมสงสัยว่า (x + 1 ) มาจากไหนครับไม่เข้าใจช่วยอธบายด้วยครับ

มันเป็นตัวที่คูณเข้าไปเพื่อจัดรูปครับ เพราะเทอมที่โจทย์ให้เป็นตัวประกอบของ $x^3+1$ พอดี

การนำ x+1 คูณเข้าไปต้องมีเงื่อนไขว่า x+1 ไม่เท่ากับศุนย์ไม่ใช่รึครับ ดังนั้น x จึงไม่เท่ากับ -1 ไม่ใช่รึครับ
สงสัยครับ :confused:

เอาเฉลยมาจากไหนครับ... คือมันเฉลยวิธีผิดครับ

เดี๋ยวว่างๆจะมาแสดงให้ดู

Edit: เฉลยไม่ผิดหรอกครับผมเข้าใจผิดเอง :D

พี่ nongtum ตอบตามที่เห็นรึเปล่าครับ ไม่ได้คิดว่าถูกรึเปล่า :)

ส่วนวิธีเฉลยรอน้อง mastermander โชว์ฝีมือเลยครับ

จริงอยู่ถึงแม้ว่าวิธีการที่เฉลยมานั้นบกพร่อง เพราะว่าสมการ $x^3 + 1 = 0$ มี -1 เป็นราก
แต่ สมการ $x^2 - x + 1 = 0$ ไม่มี -1 เป็นราก สมการจึงไม่สมมูลกัน :rolleyes:

แต่อย่างไรก็ตามเราก็ยังคงสามารถแสดงได้ว่า $x^3 = -1$ โดยใช้ความรู้ระดับมัธยมต้น ดังนี้

จากสมการ $x^2 - x + 1 = 0$ ชัดเจนว่า $x \ne 0$
ดังนั้น $x^2 = x - 1 \Rightarrow x^4 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = x - 1 - 2x + 1 = -x$
แต่ $x \ne 0$ จึงนำ $x$ หารตลอดได้เป็น $x^3 = -1$ :great:

ผมเข้าใจว่าโจทย์ข้อนี้ที่เค้าเฉลยไม่ได้ต้องการบอกว่า $X^{3} = -1$ จึงทำให้ได้รากของ X = -1 และนำ X = -1 ไปแทนลงในสมการ แต่เค้าต้องการจัดรูปว่ารากของสมการ $x^{ 2}-x+1=0$ เมื่อรากของมันยกกำลังสามแล้วเท่ากับ -1 จึงนำค่า $X^{3} = -1 $ไปแทนลงในสมการ แล้วได้คำตอบ = -1

ใช่ครับ x ต้องไม่เท่ากับ -1 แต่ $x^3=-1$

My Solution

$x^2-x+1=0\quad \because\ x\ne0\to\; x+\dfrac1x=1=2\cos60^\circ$

$x^9+x^{-9}+x^6+x^{-6}+x^3+x^{-3}+1=2\cos540^\circ + 2\cos360^\circ + 2\cos90^\circ+1=-1$

ก็คงเป็นเช่นนั้นครับ แต่เวลาเขียนเฉลยก็น่าจะบอกหรือใช้คำพูดในเชิงตรรกศาสตร์ให้ชัดเจนว่า
ถ้า $x^2 - x + 1 = 0$ แล้ว $(x+1)(x^2 - x + 1)=0$

ไม่งั้นบางทีอาจจะตีความผิดไปว่า

$x^2 - x + 1 = 0$ ก็ต่อเมื่อ $(x+1)(x^2 - x + 1)=0$

ซึ่งเป็นเท็จ

x+\dfrac1x=1=2\cos60^\circ$ ไม่เข้าใจตรงนี้อะ

If $x+\dfrac1x=2\cos\theta$

Then $x^n+\dfrac1{x^n}=2\cos n\theta$

พอจะพิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ อยากรู้อะครับ :huh: