Partial fractions
 

Express $ \frac{1}{(1-z)(1-z^2)(1-z^4)} $ as a sum of partial fractions.


$ \frac{1}{(1-z)(1-z^2)(1-z^4)} = \frac{A}{1-z} + \frac{B}{(1-z)^2} + \frac{C}{(1-z)^3} + \frac{D}{1+z} +\frac{E}{(1+z)^2} + \frac{Fz+G}{1+z^2} $

กระจายออกมาแล้วเทียบสัมประสิทธิ์เอาได้รึเปล่าครับ เทียบกับแทนค่า z=2, -2, 3 แล้วน่าจะง่ายกว่าหน่อย

ขอบคุณมากนะคะ :)

$ 1 = A(1-z)^2 (1+z)^2(1+z^2) + B(1-z)(1+z)^2(1+z^2) + C(1+z)^2(1+z^2) + D(1-z)^3 (1+z)(1+z^2) + E(1-z)^3(1+z^2) + Fz(1-z)^3(1+z)^2 + G(1-z)^3(1+z)^2 $

แทนค่า z = 1 จะได้ $C = \frac{1}{8}$

แทนค่า z = -1 จะได้ $E = \frac{1}{16}$

แทนค่า z =0 จะได้ $A+B+D+G = \frac{13}{16}$

แทนค่า z =2 จะได้ $15A-15B-5D-6F-3G = \frac{-23}{16}$

แทนค่า z =-2 จะได้ $15A+5B-45D-18F+4G = \frac{-43}{16}$

แทนค่า z =3 จะได้ $20A-10B-10D-12F-4G = \frac{-7}{16}$

แทนค่า z =-3 จะได้ $20A+5B-40D-24F+8G = \frac{-22}{16}$

(ถ้าคิดไม่ผิดนะ) :laugh:


แล้วแก้ 5 สมการ 5 ตัวแปร อาจจะใช้วิธีลดตัวแปร หรือดำเนินการกับ matrix ของสัมประสิทธ์, Gaussian elimination วิธีการตามนี้ https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination

ถ้าลองgeneralize partial fraction 1/(1-z)(1-z^2)...(1-z^2n) จะหน้าตาเป็นยังไงน้า