โจทย์จาก India
$x,y,z \geq$ 0 and $xyz \geq xy+yz+zx$ prove that $xyz \geq 3(x+y+z)$
|
โอ้ ผมไม่คิดว่าจะทำอสมการออกนะครับเนี่ย เพราะไม่ถนัดเล้ยย
Solution ผม เพื่อให้ดูง่ายเราเปลี่ยน $\frac{1}{x} =a,\frac{1}{y} =b,\frac{1}{z} =c$ แล้วเราก็จะพบว่า โจทย์จะสมมูลกับ "กำหนดให้ $a,b,c\geq 0, a+b+c\leq 1$ จงแสดงว่า $ab+bc+ca\leq \frac{1}{3} $" เริ่มดูดีแล้ว 555+ :D จากนั้น เราจะพบว่า จาก $a+b+c\leq 1$ ทำให้ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\leq 1$ จะได้ว่า; $ab+bc+ca\leq \frac{1-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) }{2} \leq \frac{1-\left(\frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{3} \right) }{2}\leq \frac{1}{3}$ :great: ปล.พิมพ์เปลี่ยนภาษาไปมา แถมยังต้องใช้ Math fonts นี่ยากจังเลย "- -:sweat: |
$xyz(xy+yz+zx) \geq (xy+yz+zx)^2 \geq 3xyz(x+y+z) \therefore xy+yz+zx \geq 3(x+y+z)$ แต่ $xyz \geq xy+yz+zx \therefore xyz \geq 3(x+y+z)$ |
อ้างอิง:
:confused: |
จากcauchy-schwarz; $ab+bc+bc \leq a^2+b^2+c^2$ ให้ $a=xy,b=yz,c=zx$ แล้วบวกด้วย 2xyz(x+y+z) ทั้งสองข้าง
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:20 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha