Old + Nice inequality from China TST (Also can be seen in MOSP)
$a,b,c\in R+$
$a+b+c=1$ show that $\sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ เก่ามากแล้ว แล้วก็สวยมากด้วย :D เอามาแบ่งปันครับ เห็น forum อสมการก็เงียบไปพอสมควร เลยลองปลุกด้วยโจทย์จากประเทศจีนบ้าง LOL |
hint หน่อยครับ
|
เท่าที่คิดได้มี 2 วิธีครับ
Hint method 1: เอา 3 ก้อนนั้นมาบวกกัน (ทำส่วนให้เหมือนกัน) แล้วจะเห็นอะไรดีๆ Hint method 2: Cauchy ->Schur |
อ้างอิง:
กระจายแล้วครับได้ $$\frac{ab\sqrt{abc+a^2c^2}+bc\sqrt{abc+a^2b^2}+ac\sqrt{abc+b^2c^2}}{abc(ab+bc+ac)-a^2b^2c^2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$ จากอสมการ AM.-GM. จะได้ $$\frac{ab(\frac{2ac+b}{2})+bc(\frac{2ab+c}{2})+ac(\frac{2bc+a}{2})}{abc(ab+bc+ac)- a^2b^2c^2}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} $$ แล้วจัดรูปจะได้ว่าอสมการสมมูลกับ $$\frac{2abc+ab^2+bc^2+a^2c}{2abc(bc+ac+ab)-2a^2b^2c^2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$ แล้วทำไงต่ออะครับ:please: |
เงียบจังนะครับ
|
จาก #4 คิดว่าไปต่อไม่ได้แล้วครับ เพราะอสมการนั้นมันไม่จริง - -" ลองคิดใหม่นะครับ
|
วิธีผมนะครับ ไม่รู้ไปซ้ำกับใครหรือเปล่า เขียนอสมการได้ใหม่เป็น $\Sigma a\sqrt{\frac{b}{1-b}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$ เลือกฟังก์ชั่น $y=f(x)=\sqrt{\frac{x}{1-x}}$ บนช่วง Concave $D_f=(o,\frac{1}{3}]$ โดยอสมการ Jensen ถ่วงน้ำหนัก $$L.H.S.\leqslant\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{1-(ab+bc+ca)}}$$ เเละใช้เอกลักษณ์ $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}$
เป็นกาีรเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $$\sqrt{\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{1+a^2+b^2+c^2}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $$3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 1$$ Homogenize เป็น $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2$ ซึ่งสมมูลกับ $\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\geqslant 0$ ผิดถูกยังไงก็บอกนะครับ จริงๆเเล้วผมทำตาม Hint ของคุณ Rose-Joker ไม่ออก เเต่อยากเห็นวิธีทำมากครับผม ขอความกรุณาด้วยครับ :please::please: |
โดยอสมการโคชีได้ว่า $$\sum_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}} = \sum_{cyc}\sqrt{ab}\sqrt{\frac{a}{a+c}}$$
$$\le \sqrt{ab+bc+ca}\sqrt{\sum_{cyc}\frac{a}{a+c}} \le \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ ไม่ได้เข้ามานานมากแล้วครับแทบพิมพ์ latex ไม่ได้เลย :p |
อ้างอิง:
|
คุณเด็กเทพๆไม่ได้เห็นซะนานนะครับ หวัดดีครับ :D
สอบวันที่ 30 นี้ผมควรเตรียมตัวยังไงดีครับ ขอคำเเนะนำหน่อยครับ :confused::please: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:10 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha