เมตริกซ์นะจ๊ะ
 

1. อยากทราบเงื่อนไขทั้งหมดที่ทำให้ เมตริกซ์ AB = BA เมื่อ A,B เป็นเมตริกซ์มิติ 2*2

2. อยากทราบเงื่อนไขทั้งหมดที่ทำให้ เมตริกซ์ AB = BA เมื่อ A,B เป็นเมตริกซ์มิติ 3*3

3. เด็กโอลิมปิกไปเล่นบอร์ดคณิตศาสตร์ที่ไหน มั้งครับ อยากได้ ของหลายๆ ประเทศ ครับ เช่น

ญี่ปุ่น จีน สิงคโปร์ เยอรมัน สหรัฐ รัสเซีย เวียดนาน เป็นต้นนะครับ

4. อยากได้เว็บต่างประเทศที่คล้ายๆ บอร์ด www.mathcenter.net ครับ อิอิอิ(อาจจะคล้ายๆกับข้อ 3)

:sweat: :sweat: :sweat: :sweat: :sweat: :sweat:

สองข้อแรก: AB=BA ได้เมื่อ A,B เป็น Diagonal Matrix ขนาดเดียวกัน อ้างจากที่นี่ กรณีสองข้อแรกสามารถคิดออกมาแล้วแก้สมการหาเงื่อนไขตรงๆได้ครับ

สองข้อหลังลองเริ่มจากเข้าหน้าแรกของเว็บนี้ครับ ไว้จะมาเขียนตอบเพิ่มหากนึกออกครับ :p

ขอเพิ่มเติมครับอีก2ข้อครับ
1กรณีA=Bก็จะทำให้AB=BAได้ครับ(ขนาดจตุรัส)
2.กรณีAและBเป็นเมทริกซ์0ก็จะได้AB=BA(เมทริกซ์0ก็เป็นสับเซตของdiagonal matrix อย่างที่รร.คุณnongtumกล่าวไว้ข้างต้นครับ :p )

ของผมใหญ่ขึ้นมาอีกนิดนึงครับ :D
ให้ A,B เป็นเมทริกซ์ซึ่งสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์เฉียงได้ (diagonalizable matrices) เราจะได้ว่า

AB = BA ก็ต่อเมื่อ มี invertible matrix P และ diagonal matrices D,E ซึ่งทำให้
A = PDP^-1 และ B = PEP^-1

ตัวอย่างเช่น

\( A = \bmatrix{1 & 0 \\ -1 & 2} = \bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 1}\bmatrix{1 & 0 \\ 0 & 2}\bmatrix{1 & 0 \\ -1 & 1}\)

\( B = \bmatrix{2 & 0 \\ 1 & 1} = \bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 1}\bmatrix{2 & 0 \\ 0 & 1}\bmatrix{1 & 0 \\ -1 & 1} \)

อันนี้เป็นทฤษฎีบทซึ่งเราเรียกว่า Simultaneous Diagonalization ครับ :rolleyes: