Mathcenter Forum - รวมข้อสอบ สอวน.ค่าย1,2

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ข้อสอบโอลิมปิก (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=28)

- - รวมข้อสอบ สอวน.ค่าย1,2 (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=24228)

รวมข้อสอบ สอวน.ค่าย1,2

ผมจะรวมโจทย์สอวนค่ายประมาณ 1,2 จากที่ต่างๆมาและให้ทำกันแต่จุดประสงค์คือไม่มีเฉลยครับจึงอยากให้พวกพี่ๆเก่งๆ มาช่วยเฉลยครับ เพื่อต่อยอดให้พวกผมไปแข่งต่อได้ ถ้าแนะนำได้ว่าอยู่บทไหนก็ช่วยแนะนำด้วยครับ จะได้ไปอ่านเพิ่มเติม ผมจะค่อยๆโพสต์ทีละชุดนะครับ ขอบคุณครับ:kaka:

1.สามเหลี่ยม ABC มี AD,BE,CF เป็นเส้นมัธยฐานที่ลากจาก ABC มายังฐาน BC,AC,AB ตามลำดับแล้วจงพิสูจน์ว่า AD+BE+CF น้อยกว่า AB+BC+AC.

2.กำหนดให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้านAB//DC โดยที่ AB ยาวกว่า DC ต่อเส้นทแยงมุม AC และ BD ให้ E และ F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AC และ BD ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า AB-CD=2EF

3.วงกลม 2 วงตัดกันที่จุด A และ B เส้นตรงPAQ ลากผ่านจุด Aไปพบเส้นรอบวงทั้งสองที่P และ Qตามลำดับ ต่อAB และให้X เป็นจุดใดๆบน AB ต่อPX และ QXไปพบเส้นรอบวงที่ RและS ตามลำดับ ต่อSB และRB จงพิสูจน์ว่า. มุมBXR =มุมBSR
จัดไป 3 ข้อก่อนครับ ถ้ามีคนมาร่วมเฉลยกันก็จะลงเรื่อยๆครับ สำหรับคนที่ช่วยเฉลยก็ขอขอบคุณอีกครั้งครับ

ต่อ $AD$ ถึง $E$ ให้ $ED=AD$ จะได้ $ACEB$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทำให้ $AE < AB + BE$
ซึ่งคือ $2AD < AB + AC$ ทำเช่นเดียวกันกับเส้นมัธยฐานอื่น แล้วนำอสมการมาบวกกัน จะได้ $2(AD+BE+CF)<2(AB+BC+CA)$ นั่นคือ $AD+BE+CF<AB+BC+CA$

ให้ $X = AC\cap BD$ จาก $\triangle ABX \sim \triangle EFX$ จะได้ $AB=EF\cdot \frac{XB}{XF}$ และจาก $\triangle CDX \sim \triangle EFX$ จะได้ $CD=EF\cdot \frac{XD}{XF}$ เพราะฉะนั้น $AB-CD=(XB-XD)\cdot \frac{EF}{XF}=(\frac{1}{2}BD+XF-\frac{1}{2}BD+XF)\cdot\frac{EF}{XF}=2EF$

เนื่องจาก $\angle RBS=\angle RBX +\angle SBX=\angle QPX + \angle PQX=180^\circ - \angle PXQ$ จะได้ $RBSX$ มีวงกลมล้อมรอบ ดังนั้น $\angle BXR = \angle BSR$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ rendv (ข้อความที่ 186344)

hide

[*]ต่อ $AD$ ถึง $E$ ให้ $ED=AD$ จะได้ $ACEB$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทำให้ $AE < AB + BE$
ซึ่งคือ $2AD < AB + AC$ ทำเช่นเดียวกันกับเส้นมัธยฐานอื่น แล้วนำอสมการมาบวกกัน จะได้ $2(AD+BE+CF)<2(AB+BC+CA)$ นั่นคือ $AD+BE+CF<AB+BC+CA$[*]ให้ $X = AC\cap BD$ จาก $\triangle ABX \sim \triangle EFX$ จะได้ $AB=EF\cdot \frac{XB}{XF}$ และจาก $\triangle CDX \sim \triangle EFX$ จะได้ $CD=EF\cdot \frac{XD}{XF}$ เพราะฉะนั้น $AB-CD=(XB-XD)\cdot \frac{EF}{XF}=(\frac{1}{2}BD+XF-\frac{1}{2}BD+XF)\cdot\frac{EF}{XF}=2EF$[*]เนื่องจาก $\angle RBS=\angle RBX +\angle SBX=\angle QPX + \angle PQX=180^\circ - \angle PXQ$ จะได้ $RBSX$ มีวงกลมล้อมรอบ ดังนั้น $\angle BXR = \angle BSR$

ลองกดเข้าไปดู format ที่ผมแก้ให้ครับ ที่จริง site นี้เงียบมานานมากแล้วครับ :cry: เทพก็หายไปเยอะ นานๆจะมีคนแวะมาที

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RER (ข้อความที่ 186345)

ได้แล้วคร้าบบบ ^^