IMO;Functional Equation
1) ให้ $U=${$f:\mathbf{I} \rightarrow \mathbf{I} \left|\,\right.f(x+y)=f(x)+f(y) ทุกๆ x,y\in \mathbf{I}$}
เเละ $A=${$f\in U\left|\,\right.|f(1000)|\leqslant 3999$} จงหาว่าAมีสมาชิกกี่ตัว อะไรบ้าง จงระบุมาให้ครบถ้วน 2) กำหนดให้ $A=\mathbf{I}^+\cup ${0}={0,1,2,3,...} เเละให้ $f:A\rightarrow A$ มีสมบัติต่อไปนี้ ก. $f(1)>0$ ข. $f(m^2+n^2)=(f(m))^2+(f(n))^2$ ทุกๆ $m,n\in A$ จงหาค่า $f(3)$ |
ข้อ$2$นี่ แทน m=m , n=0 จะได้สมการบางอย่าง แล้วก็คงหาต่อ แค่ f(0),f(1), f(2) และ f(5)
แล้วก็พิจารณา $f(25)=f(9+16)$ ทำต่ออีกนิ๊ส ก็จะได้ f(3)=3 ตามวิธีเด็กๆอย่างผมทำ ฮ่าๆ |
อ้างอิง:
$|f(1000)|\leq 3999\Rightarrow |f(1)|\leq 3.999$ $f(1)=-3,-2,-1,0,1,2,3$ $|A|=7$ |
เอ....ถ้า $f(x+y)=f(x)+f(y) $ แล้ว $f(x)=f(1)x$ เสมอรึเปล่าครับ
|
อ้างอิง:
ถ้าจะให้จริงบนเซตของจำนวนจริง ต้องเพิ่มเงื่อนไขบางอย่างด้วยเช่น - $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง - $f$ เป็น monotone ฟังก์ชัน - $f$ มีขอบเขตในทุกช่วงปิด $[a,b]$ แต่ละเงื่อนไขจะทำให้ $f(x)=f(1)x,\,\forall x\in\mathbb{R}$ ครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:30 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha