ข้อสอบค่าย 1 ครั้งที่ 1 ปี 53 สอวน.ม.นเรศวร
 

อสมการ

1. กำหนดให้ $s_1,s_2,...,s_n$ เป็นจำนวนจริงบวกหรือ 0 ให้ $\sigma=s_1+s_2+...+s_n$

และ $\sigma_k=\sigma - (n-1)s_k$ สำหรับทุกค่า $k=1,2,...,n$ จงแสดงว่าถ้า $\sigma_1,\sigma_2
,...,\sigma_n\geqslant 0$

แล้ว $s_1s_2...s_n\geqslant \sigma_1 \sigma_2 ... \sigma_n$

2. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนนับ และ $n\geqslant 2$ จงแสดงว่า

$$n((n+1)^{\frac{1}{n}}-1)\leqslant 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\leqslant n-(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}$$

ทฤษฎีจำนวน

1. จงหาผลบวกของจำนวนนับ $k$ ทุกจำนวนที่น้อยกว่า 100 และ $48\left |k^3+47\,\right. $

2. จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ $2^k$ หาร $15^{2^{2010}}-1$ ลงตัว

A slight generalization of Schur's inequality

$\sqrt[n-1]{\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_{n-1}}\leq\dfrac{\sigma_1+\sigma_2+\cdots+\sigma_{n-1}}{n-1}=s_n$

$\sqrt[n-1]{\sigma_2\sigma_3\cdots\sigma_{n}}\leq\dfrac{\sigma_2+\sigma_3+\cdots+\sigma_{n}}{n-1}=s_1$

$\vdots$

$\sqrt[n-1]{\sigma_n\sigma_1\cdots\sigma_{n-2}}\leq\dfrac{\sigma_n+\sigma_1+\cdots+\sigma_{n-2}}{n-1}=s_{n-1}$

Multiplying all inequalities, we get the result.

ต่อด้วย

พีชคณิต

1. กำหนดให้ $P(x)=x^6-x^4-x^2-1$ ให้ $a,b,c,d$ เป็นรากของสมการ $x^4+x^3-x^2-1=0$

จงหาค่าของ $P(a)+P(b)+P(c)+P(d)$

2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $1<a<b<c$ และมีจำนวนเต็มบวก $k$ ที่ $(a-\frac{1}{c})(b-\frac{1}{a})(c-\frac{1}{b})=k$

จงหาค่าของ $a^2+b^2+c^2$

ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์

1. ให้ $x\in \mathbb{R} $ และ $x\geqslant 0$ จงพิสูจน์ว่า $\forall n\in \mathbb{N} ,(1+x)^n\geqslant 1+x^n$

2. ให้ $N=\left\{1,2,3,...\,\right\} $ และ $A=\left\{8,11,14,17,...\,\right\} $ จงพิสูจน์ว่า $N\sim A$

$n((n+1)^{\frac{1}{n}}-1)\leqslant 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$

$n(n+1)^{\frac{1}{n}}\leq (1+1)+(1+\frac{1}{2})+\cdots + (1+\frac{1}{n})$

$n(n+1)^{\frac{1}{n}}\leq 2+\frac{3}{2}+\cdots + \frac{n+1}{n}$

Apply AM-GM inequality directly.

$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\leqslant n-(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}$

$(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}\leq (1-1)+(1-\frac{1}{2})+\cdots+(1-\frac{1}{n})$

$(n-1)n^{ \frac{-1}{n-1}}\leq \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdots+\frac{n-1}{n}$

Apply AM-GM inequality directly.

โค๊ะ มาไวดีแท้

ข้อนี้น่าต้องการวัดความรู้เรื่องสมการพหุนาม โดยเฉพาะการใช้Vieta's Formula....แต่ผมอ่านแล้วยังไม่เข้าใจ
ก็ลองใช้วิธีถึกๆธรรมดา หาคำตอบดูก่อน ส่วนวิธีแบบระดับเข้าค่ายเดี๋ยวคงมีคนเข้ามาแนะ
จากโจทย์ให้หา $P(a)+P(b)+P(c)+P(d)$
ลองจัดพจน์ดูใหม่ จัดได้เป็น
$(a^6+b^6+c^6+d^6)-(a^4+b^4+c^4+d^4)-(a^2+b^2+c^2+d^2)-$$4$
กลับมาดูสมการ$x^4+x^3-x^2-1=0$
ลองแทน$x=1$ จะได้ค่าเป็น$0$ แสดงว่ารากหนึ่งคือ$x-1$
$x^4+x^3-x^2-1=(x-1)(x^3+2x^2+x+1)$
ให้$d=1$.....ก็เหลือแค่หารากจาก $x^3+2x^2+x+1$
ให้$x^3+2x^2+x+1=(x-a)(x-b)(x-c)$
จะได้ว่าจากvieta formula
$a+b+c = -2 \quad , ab+bc+ca=1 \quad , abc = -1 $

$a^2+b^2+c^2 =(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) = 2$

$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{ab+bc+ca}{abc} = -1 $

$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3abc(a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}) +3abc $
$= -8-3-3(-1)(-2)(-1) = -8-3+6 = -5$

$a^4+b^4+c^4= (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 =(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) = 1-2(-1)(-2) = -3$

$a^4+b^4+c^4= 4-2(-3) =10$

$a^6+b^6+c^6+ = (a^3+b^3+c^3)^2-2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$

$a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 =(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)-(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3\right\} $
$= (-3)(1)-(-1)^2\left\{\,(-1)(-2)-3\right\} $
$= -2$

$a^6+b^6+c^6 = 25-2(-2) =29$

$P(a)+P(b)+P(c)+P(d)= (29+1)-(10+1)-(2+1)-$$4$$ = 30-18 =12$

วิธีการถึกไปหน่อย เดี๋ยวรอยอดฝีมือมาสอนเคล็ดวิชาเพิ่มแล้วกันครับ
ถ้าทำตรงไหนผิด ก็บอกกันด้วยครับ

ขอบคุณคุณOnasdiที่ชี้จุดพลาดให้ครับ

ลองมองเป็นแบบนี้ดูอาจช่วยได้บ้าง

$P(x) = x^2(x^4+x^3-x^2-1)-x(x^4+x^3-x^2-1)+(x^4+x^3-x^2-1)-2x^3+x^2-x$

โอ้โหพี่หยินหยางเทพจังเลยคับบ ทำไงถึงจะเก่งแบบพี่อ่ะคับ

คำถามพีชคณิตข้อ 1 คล้ายกับคำถามที่ว่า ถ้า $x^3=2$ แล้ว $x^{100}=?$

วิธีคิดคือจับพหุนามมาหารยาวกันก่อน แล้วดูเฉพาะเศษจากการหาร ซึ่งจะออกมาเหมือนที่คุณหยินหยางแสดงให้ดู

$x^6-x^4-x^2-1=(x^2-x+1)(x^4+x^3-x^2-1)-2x^3+x^2-x$

ก้อนแรกจะหายไปหมด ทำใม?

เพราะว่าเราแทนค่า$x$ที่เป็นรากของสมการพหุนาม$x^4+x^3-x^2-1=0$
ดังนั้น $x^6-x^4-x^2-1=(x^2-x+1)(x^4+x^3-x^2-1)-2x^3+x^2-x$
จะยุบเหลือแค่$-2x^3+x^2-x$
$P(a) = -2a^3+a^2-a$
$P(b) = -2b^3+b^2-b$
$P(c) = -2c^3+c^2-c$
$P(d) = -2d^3+d^2-d$
$P(a) +P(b)+P(c)+P(d)= -2(a^3+b^3+c^3+d^3)+(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)$
$=-2(-4)+3+1 = 12$

ทำแบบนี้หรือเปล่าครับ....
การมองโจทย์ของซือแป๋หยินหยางกับท่านNOOONUII...เหนือชั้นยิ่งนัก
ผมได้เห็นวิธีการลดความถึกไปอีกขั้นหนึ่งด้วยการใช้การหารพหุนาม.....ขอบคุณมากครับ
เดี๋ยวผมคงต้องลองทวนวิธีแรกของผมเสียแล้วเพราะได้คำตอบไม่เท่ากัน วิธีแรกน่าจะมีจุดผิด เพราะมันทำแบบยาวมาก

ตรงสีแดงครับ :p

ขอบคุณครับคุณOnasdi.....ต้องลบด้วย 4 ครับ
เท่ากันเสียทีครับ

ไม่รู้ถูกรึเปล่านะครับ ช่วยชี้แนะด้วย

ข้อ 1 เพราะว่า k เป็นจำนวนนับดังนั้น k สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ
$$48q,48q+1,48q+2,...,48q+47 เมื่อ q\geqslant0$$
ลองให้ k เป็นจำนวนคู่บวกจะได้ว่า k เขียนได้อยู่ในรูปของ $2m$ เมื่อ $m\in\mathbb{N}$
ดังนั้น $k^3+47 = (2m)^3+47 = 8m^3+47 $
จะได้ว่าถ้า k เป็นจำนวนคู่แล้ว $48\nmid k^3+47$
ดังนั้น k เป็นจำนวนคี่แน่นอน มาพิจารณาจำนวน $48q+1,48q+3,....,48q+i$ เมื่อ i เป็นจำนวนคี่บวกที่มีค่าไม่เกิน 47
จะเห็นว่า $48|k^3+47$ ก็ต่อเมื่อ $48|i^3+47$
จะได้ค่า i คือ 1 ตัวเดียวเท่านั้น
ดังนั้นจะได้ค่าของ k คือ $48(0)+1 , 48(1)+1 , 48(2)+1 = 1 , 49 , 97$
จะได้ผลรวมของค่า k ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $1+49+97=147$

ถ้าจำไม่ผิด จะพิสูจน์ว่า $N \sim A$ นั้นต้องหาฟังก์ชั่นจาก N ไป A ซึ่งฟังก์ชันนี้ต้องเป็นฟังก์ชั่นหนึ่งต่อหนึ่ง และทั่วถึงได้

พิสูจน์ กำหนดให้ $f : N \rightarrow A$ ซึ่ง $f(x)=3x+5$ และ $N=\left\{1,2,3,...\,\right\} $ และ $A=\left\{8,11,14,17,...\,\right\} $

1. ต้องพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง นั่นคือต้องแสดงว่า $(\forall x_1,x_2\in N)(f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2 )$

สมมติว่า $f(x_1)=f(x_2)$ จะได้ว่า$ 3x_1+5 = 3x_2+5$
ดังนั้น $x_1=x_2$
สรุปได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

2. ต้องพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง นั่นคือต้องแสดงว่า $(\forall y\in A)(\exists x\in N)(f(x)=y)$
ให้ $y\in A$ แล้วเลือก $x=\frac{y-5}{3}$ แล้ว $x\in N$ อยู่ จะได้ว่า
$$f(x)=3x+5=3(\frac{y-5}{3})+5=(y-5)+5=y$$
ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง

จากทั้ง 2 ข้อจะได้ว่า $N\sim A$

ปล. ไม่รู้ว่าผมเข้าใจความหมายของ ~ ถูกรึเปล่านะ ช่วยตรวจให้ด้วยครับ

พิสูจน์ ให้ n เป็นจำนวนนับใดๆ และให้ $P(n)$ แทนข้อความ
$$(1+x)^n\geqslant 1+x^n$$
1. ต้องแสดงว่า $P(1)$ เป็นจริง
นั่นคือต้องแสดงว่า $(1+x)^1 \geqslant 1+x^1$
เนื่องจาก $(1+x)^1 = 1+x และ 1+x^1 = 1+x$ ดังนั้น $(1+x)^1 = 1+x^1$
ดังนั้น $P(1) จริง$

2. ให้ $k\in \mathbb{N}$ และสมมติว่า $P(k)$ จริง
ต้องแสดงว่า $P(k+1)$ จริง
นั่นคือต้องแสดงว่า $(1+x)^{k+1} \geqslant 1+x^{k+1}$
จาก $P(k)$ จริงจะได้ว่า $(1+x)^k \geqslant 1+x^k$ .....................(1)
$(1+x) \times (1)$ ; $(1+x)^{k+1} \geqslant (1+x^k)(1+x)=1+x+x^k+x^{k+1}=(1+x^{k+1})+x+x^k$
เพราะว่า $x\geqslant 0$ ดังนั้น $x+x^k \geqslant 0$ จะได้ว่า $(1+x^{k+1})+x+x^k \geqslant (1+x^{k+1})$
ดังนั้น $(1+x)^{k+1} \geqslant (1+x^{k+1})+x+x^k \geqslant 1+x^{k+1}$
จะได้ว่า$ P(k+1)$ จริง

โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะได้ว่า
$$\forall n\in \mathbb{N} ,(1+x)^n\geqslant 1+x^n$$