NT&CB
 

1.จงแสดงว่า ลำดับของจำนวนเต็ม mn-1 ตัวจะมีลำดับย่อยแบบเพิ่มที่ยาวm หรือแบบลดที่ยาว n

2.จงหา m น้อยสุดที่ $2^k|5^m-1$

3.จงแสดงว่าจำนวนติดกันmตัวคูณกันหารด้วยm! ลงตัว

4. ถ้า$ f(x) \equiv 0 (modp) $มี j คำตอบเมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะและ $g(x)\equiv0 (modp)$ ไม่มีคำตอบ จงพิสูจน์ว่า $f(x)g(x)\equiv0(modp)$ มีเพียง j คำตอบเท่านั้น

5.ถ้าสมการ f(x)\equiv 0(modn) มี n คำตอบ จงแสดงว่าทุกจำนวนเต็มเป็นคำตอบของ$ f(x) \equiv 0 (mod n) $

6 ช,ญ อย่างละ25คนนั่งรอบโต๊ะกลม จงแสดงว่ามีคนที่นั่งติดกับ ผญ ทั้งสองข้าง


edit ไม่ทันดูว่าเข้าผิดห้อง รบกวนย้ายไปที่ห้องข้อสอบโอลิมปิกหน่อยครับ

ปล.ข้อ5ได้ละครับ

2.จงหา m น้อยสุดที่ $2^k|5^m-1$

m.k เป็นจำนวนอะไรครับ

ถ้าเป็นจำนวนเต็ม m=0 ; k=0 ก็ได้ครับ

3.จงแสดงว่าจำนวนติดกันmตัวคูณกันหารด้วยm! ลงตัว

มีตัว คอนกรูเอนซ์กับ 1,2,...,m ดังนั้นหารด้วย m! ลงตัว

3. พิจารณา $\binom{a+m}{m} $ ก็พอครับ ได้ตามต้องการเมื่อกระจายออกมาครับ

#2 เขียน m ในรูป k ครับ

3. มันก็เห็นชัดอะครับ แต่จะเขียนอย่างไรดีครับ ถ้าโจทย์บอกว่าให้เขียนด้วย mod (ทำโดยใช้NT)

ข้อ 1. idea เดียวกัน http://people.math.gatech.edu/~apasc...2_Chapter4.pdf (ผมว่าข้อนี้เขาเปลี่ยนโจทย์จาก $mn+1$ ไปเป็น $mn-1$ เพื่อวัดว่าเราใช้ idea ตรงนี้เป็นจริงๆหรือเปล่า ลองดูครับ)

ข้อ 3. ถ้าใช้ combi ไม่ได้ ใช้ induction ได้หรือเปล่า?

ข้อ 4. สมมติให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ เป็นสมการที่มี $j$ คำตอบ และ $g(x) \equiv 0 \pmod{p}$ ไม่มีคำตอบ
ให้ $a_{1},a_{2},...,a_{j}$ เป็นคำตอบของ $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ โดยที่ $a_{i} \not \equiv a_{k} \pmod{p}$ ทุก $1 \leq i,k \leq j$
จะได้ว่า $p \mid f(a_{i})$ ทุก $i$ ดังนั้น $p \mid f(a_{i})g(a_{i})$ ทุกค่า $i$ ด้วย
ดังนั้น $f(a_{i})g(a_{i}) \equiv 0 \pmod{p}$ แสดงว่า $a_{i}$ เป็นคำตอบของสมการ $f(x)g(x) \equiv 0 \pmod{p}$ (ที่การันตีได้ว่ามีอย่างน้อย $j$ คำตอบละ)
สมมติมีจำนวนเต็ม $b$ ที่ $b \not \equiv a_{i} \pmod{p}$ ทุกค่า $i$ ที่ทำให้ $f(b)g(b) \equiv 0 \pmod{p}$ จะได้ว่า $p \mid f(b)g(b)$ ลงตัว
ก็จะได้ว่า $p \mid f(b)$ หรือ $p \mid g(b)$
จาก $g(x) \equiv 0 \pmod{p}$ ไม่มีคำตอบ แสดงว่า $p \nmid g(b)$
ดังนั้น $p \mid f(b)$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะ $b$ ไม่เป็นคำตอบของ $f(x)$

mn+1 แหละครับผมพิมพ์ผิดเอง ขอโทษครับ

ขอบคุณมากๆสำหรับทุกคนนะครับ ได้ไอเดียขึ้นเยอะเลยครับ

ปล. ขาดข้อ2อะครับ

ข้อ 2 นะครับ คือเราจะเห็นได้ชัดว่า $m=2^{k-1}$ เป็นไปได้ที่จะเป็นคำตอบ ต่อไปเรา จพสว. ว่านั่นเป็นค่า m ที่น้อยสุด โดยการเเยกตัวประกอบ จะได้ว่า $2^k\left\Vert\,\right.5^{2^{k-1}}-1 $ เเละ $2^{k-1}\left\Vert\,\right.5^{2^{k-2}}-1 $ ดังนั้น $2^{k-1}$ เป็นค่าที่น้อยที่สุดที่ทำให้จริงทุก $m\in \mathbb{N} $