อัตราส่วนทองคำ (golden ratio) คืออะไรหรอครับ
 

อัตราส่วนทองคำ (golden ratio) คืออะไรหรอครับ
ผมหาในเน็ตมันบอกว่า "เลขสองจำนวน (สมมุติให้เป็น a, b และ a>b) จะเป็น "อัตราส่วนทอง" ถ้าอัตราส่วนระหว่างจำนวนมาก (a) ต่อผลรวม (a + b) มีค่าเท่ากับอัตราส่วนระหว่างจำนวนน้อย (b) ต่อจำนวนมาก (a)"
เห็นว่าใช้สร้างสิ่งต่างๆด้วย คือยังไงหรอครับ:confused: ขอบคุณครับ:kaka:

ในทัศนะของผมคนตัวเล็กที่ชอบคณิตศาสตร์... อัตราส่วนทองคำเป็นค่าคงที่ค่าหนึ่งทึ่มีลักษณะเช่นเดียวกับค่าพาย$\pi $คือค่าพายเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งค่าคงที่พายนี้มีอยู่ในวัตถุที่มีรูปเรขาคณิตเป็นวงกลมซึ่งในธรรม ชาติก็มีอยู่หลายอย่างด้วยกัน
....ส่วนอัตราส่วนทองคำก็เป็นค่าคงที่เหมือนกันคือเป็นอัตราส่วนตามนิยามทางคณิตศาสตร์ที่ทราบกัน แต่มีข้อสังเกตในมุมมองหนึ่งที่ว่าค่าคงที่นี้เกี่ยวข้องกับลำดับฟิโบนาชีซึ่งลำดับนี้เป็นที่ทราบกันว่ามีอยู่ในธรรมชาติของวัตถุหลายส ิ่งโดยเฉพาะในขอบข่ายทางชีววิทยา...
สมมติว่า $\varphi =ค่าคงที่อัตราส่วนทองคำ$
จะได้ว่า $\varphi$ เป็นรากของสมการพหุนาม $x^n-f_nx-f_{n-1}=0$ด้วยเมื่อ nเป็นจำนวนนับ
และ$f_nเป็นพจน์ที่nของลำดับฟิโบนาชี$เช่น
พหุนาม$x^2-x-1=0,x^3-2x-1=0,x^4-3x-2=0, x^5-5x-3=0หรือx^6-8x-5=0$
ต่างก็มีรากสมการค่าหนึ่งเป็นค่าคงที่อัตราส่วนทองคำ$\varphi $เหมือนกัน

สัดส่วนทอง อาจจะถูกใช้หาพื้นที่รูปกราฟ เพื่อประมาณขนาดรูปที่ซับซ้อนขึ้น ส่วนความหมาย อาจจะหมายถึง ความจริงหนึ่งที่ได้รับการยอมรับว่ามีประโยชน์ ในอดีตจนปัจจุบัน

สวยงามากๆเลลยครับ พึ่งเคยทราบ

พหุนามในรูป $x^n-f_nx-f_{n-1}=0$นอกจากมีรากสมการหนึ่งเป็น$\varphi =\frac{1+\sqrt{5} }{2}$แล้วยังมีรากอีกสมการหนึ่งเป็น$\frac{-1}{\varphi }=\frac{1-\sqrt{5} }{2} $เสมอด้วย หรือพูดให้เลยเถิดไปอีกว่า

พหุนามในรูป $x^n-f_nx-f_{n-1}=0$เมื่อ $n= \left\{2,3,4,5,...\right\} $
และ $fคือลำดับฟิโบนาชีหรือ f= \left\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,....\right\}$
โดย $f_1=1,f_2=1,f_3=2,f_4=3,f_5=5,...,f_n=พจน์ที่nของลำดับฟิโบนาชี$
นั้นมีลักษณะพิเศษอีกอย่างคือ ทุกๆพหุนาม $x^n-f_nx-f_{n-1}$ ไม่ว่าnจะเป็นจำนวนนับใดที่มากกว่าหรือเท่ากับ2
ต่างมีพหุนาม$x^2-x-1$ เป็นตัวประกอบทั้งสิ้น เช่น

เมื่อ $n=3$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^3-2x-1=(x^2-x-1)(x+1)$ ,
เมื่อ $n=4$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^4-3x-2=(x^2-x-1)(x^2+x+2)$ ,
เมื่อ $n=5$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^5-5x-3=(x^2-x-1)(x^3+x^2+2x+3)$ ,
เมื่อ $n=6$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^6-8x-5=(x^2-x-1)(x^4+x^3+2x^2+3x+5)$ ,...หรือ
$x^n-f_nx-f_{n-1}=(x^2-x-1)(f_1x^{n-2}+f_2x^{n-3}+f_3x^{n-4}+...+f_{n-2}x+f_{n-1})$

หรือพูดอีกอย่างได้ว่า พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$หารด้วยพหุนาม$x^2-x-1$ ลงตัวเสมอและได้ผลหารเป็น
พหุนาม$f_1x^{n-2}+f_2x^{n-3}+f_3x^{n-4}+...+f_{n-2}x+f_{n-1}$
ซึ่งจะเห็นว่าพหุนามผลหารมีสัมประสิทธิ์เป็นลำดับฟิโบนาชีเรียงกันไป.....ซึ่งผมขอตั้งชื่อเรียกก่อนว่า"พหุนามฟิโบนาชี" แล้วค่อยมาว่ากันต่อว่าพหุนามฟิโบนาชีทำอะไรได้บ้างนะครับ

พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นลำดับฟิโบนาชี
...$f_1x^{n-1}+f_2x^{n-2}+...+f_{n-1}x+f_n$สามารถเขียนให้อยู่ในรูปพหุนาม $x^{n+1}-f_{n+1}x-f_n$หารด้วยพหุนาม$x^2-x-1$
ด้วยสมบัตินี้ลองจัดรูปแทนxด้วย 1ส่วนxในฟังก์ชันพหุนามข้างต้นให้เป็นอนุกรมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์เป็นลำดับฟิโบนาชี...
$f_1+f_2x+f_3x^2+f_4x^3+...+f_nx^{n-1}$จะเท่ากับพหุนาม$f_nx^{n+1}+f_{n+1}x^n-1$หารด้วยพหุนาม$x^2+x-1$...
อนุกรมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์เป็นลำดับฟิโบนาชีนี้$f_1+f_2x+f_3x^2+f_4x^3+...+f_nx^{n-1}$น่าจะสามารถเป็นอนุกรมลู่เข้าได้ก็อย่างน้อยในช่วง$0<x<\frac{1}{\varphi } $เมื่อ $\varphi $คืออัตราส่วนทองคำ.....
เช่น..อนุกรม $1+x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...$เมื่อ$x=\frac{1}{2} $มีโอกาสเป็นอนุกรมลู่เข้าใช่ไหมครับ?

ขอสรุปแบบนี้นะครับ...
อัตราส่วนทองคำ$ (\varphi)$ นั้นมีความสัมพันธ์กับอัตราส่วนพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับฟิโบนาชี$(f_n)$
โดยเฉพาะยิ่งลำดับพจน์มากขึ้นเท่าไหร่ อัตราส่วนพจน์ก็จะยิ่งเข้าใกล้อัตราส่วนทองมากขึ้นเท่านั้น...
เขียนเป็นนิยามได้ว่า...
$$\varphi =\lim_{n \to \infty} \frac{f_n}{f_{n-1}} $$

ในนัยยะความหมายที่ว่านี้ ช่วยขยายความหน่อยได้ไหมครับ?
ขอบคุณครับ

นิยามของอัตราส่วนทองคำนั้นไม่ได้จำกัดอยู่ที่ลำดับฟิโบนาชีอย่างเดียว...
แต่ยังครอบคลุมไปถึงลำดับแบบอื่นที่มีลักษณความสัมพันธ์แบบเดียวกับลำดับฟิโบนาชีด้วยเช่น...
ลำดับ.....2,1,3,4,7,11,18,29,47,...
หรือ $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$เมื่อ $a_1=2และa_2=1$...
ยิ่งลำดับพจน์มากขึ้น...อัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกันก็จะยิ่งเข้าใกล้อัตราส่วนทองคำตามไปด้วย...
หรือเขียนได้ว่า...
$$\varphi=\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} เมื่อ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$

เมื่อกำหนดลำดับความสัมพันธ์ของ $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}และมีพจน์เริ่มต้นเท่ากับa_1,พจน์ที่สองเท่ากับa_2$แล้ว...
$ค่าคงที่อัตราส่วนทองคำ(\varphi )จะเป็นหนึ่งในรากของสมการพหุนาม...a_1x^n+(a_2-a_1)x^{n-1}-a_nx-a_{n-1}=0 เสมอด้วย$
เช่น....กำหนด $a_1=2และa_2=1$จะได้ลำดับความสัมพันธ์แบบ$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}เป็น...2,1,3,4,7,11,18,...และอัตราส่วนทองคำจะเป็นรากของสมการ 2x^n-x^{n-1}-a_nx-a_{n-1}=0ไม่ว่าnจะเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับสามใดๆ$