ให้ \(xyz=1\) เราจะต้องพิสูจน์ว่า
\[
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{x(1+y)}+\frac{1}{y(1+z)}+\frac{1}{z(1+x)} &\geq& \frac{3}{2} \\
&& \\
2[xy(1+y)(1+z)+yz(1+z)(1+x)+zx(1+x)(1+y)] &\geq& 3(1+x)(1+y)(1+z) \\
&& \\
2[xy(y+z+yz+1)+yz(z+x+zx+1)+zx(x+y+xy+1)] &\geq& 3(1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz) \\
&& \\
2(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}+x+y+z+xy+yz+zx+3) &\geq& 3(2+x+y+z+xy+yz+zx) \\
&& \\
2xy^{2}+2yz^{2}+2zx^{2}-(x+y+z+xy+yz+zx) &\geq& 0 \\
&& \\
2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})-(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) &\geq& 0 \\
&& \\
\frac{x-1}{y}+\frac{y-1}{z}+\frac{z-1}{x}+\frac{z(1-x)}{x}+\frac{x(1-y)}{y}+\frac{y(1-z)}{z} &\geq& 0 \\
&& \\
z(x-1)(x-\frac{1}{x})+x(y-1)(y-\frac{1}{y})+y(z-1)(z-\frac{1}{z}) &\geq& 0 \\
&& \\
\frac{z(x+1)(x-1)^{2}}{x}+\frac{x(y+1)(y-1)^{2}}{y}+\frac{y(z+1)(z-1)^{2}}{z} &\geq& 0
\end{array}
\]
เนื่องจาก \((x-1)^{2},(y-1)^{2},(z-1)^{2}\) มากกว่าหรือเท่ากับ \(0\) ทุกจำนวนจริงบวก \(x,y,z\)
เพราะฉะนั้นจะได้ว่าอสมการเป็นจริงครับ