Bounded linear operator
 

Def A linear operator $T$ from a normed space $X$ into a normed space $Y$ is said to be bounded if there exists $c>0$ such that $$\left\Vert\,T_x\right\Vert \leq c\left\Vert\,x\right\Vert $$ for all $x \in X$
exercise Let $X$,$Y$ be a normed space and $T:X \rightarrow^{onto} Y$ be a bounded linear operator, if there exist $b>0$ such that $$\left\Vert\,T_x\right\Vert \geq b\left\Vert\,x\right\Vert$$ for all $x \in X$ show that $T^{-1}:Y\rightarrow X$ exists and bounded
เป็นการบ้านค่ะ ช่วยคิดหน่อยนะคะ
($T_x$ คือ T(x) ค่ะ)

ก่อนอื่นถามว่า $T_x$ นี่หมายถึง $T(x)$ ใช่ไหมครับ?แล้ว
$$\left\Vert\,T_x\right\Vert \leq b\left\Vert\,x\right\Vert,\; \; \; \forall x\in X$$ อสมการนี้กลับข้างรึเปล่าครับ ลองเช็คโจทย์ดู?
$T^{-1}:X\rightarrow Y$ ควรจะเป็น $Y\rightarrow X$ ?

จริงด้วยค่ะ โจทย์ผิดจริง ๆ ต้องขอโทษมาก ๆนะคะ แต่ตอนนี้ได้ไปแก้ไขแล้วค่ะ

ครับที่ถามเพราะว่า ทำแล้วไม่ออกน่ะครับ :D ไม่ต้องซีเรียส คนเราผิดพลาดกันได้
Proof : We can see that $T^{-1}$ exists and $T$ is 1-1 since $T$ is bounded below.
Hence, for any $y\in Y$, we can find $x\in X$ such that $y=T(x)$ and then $x=T^{-1}(y)$. Substitute into the inequality above, we get \[ \| y \| \geq M\|T^{-1}(y)\|, \; \; \forall y \in Y, \]
or \[\|T^{-1}(y)\| \leq \frac{1}{M}\| y\|.\]
This shows that $T^{-1}$ is bounded as required.

ผมเพิ่งสังเกตว่าโจทย์ไม่ได้กำหนดว่า $T$ is bounded ซะด้วย แปลกดี

ปล. เรียน Functional analysis อยู่เหรอครับ ?

ขอขยายบรรทัดแรกของน้อง Magpie นิดนึงครับ

Let $x\neq y$. Then $\|f(x)-f(y)\|\geq b\|x-y\|>0$. Thus $T(x)\neq T(y)$.

ขอบคุณพี่ Noonuii ครับ แต่ผมใช้วิธีนี้ครับคิดว่าชัดกว่านิดนึง ให้ $Tx=0$ จะได้ว่า $x=0$ เนื่องจากมัน bounded below :D

$T:X \rightarrow^{onto} Y$ be a bounded linear operator
แก้ไขให้อีกแล้วนะคะ แย่จัง ล้านคำขอโทษจาพอมั้ยเนี่ยะ
ขอบคุณ M@gpie และพี่ noonuii มากนะคะ
ใช่แล้วค่ะ ตอนนี้กำลังเรียน functional analysis ค่ะ
แล้วรู้ได้ไงคะ หรือว่ากำลังเรียนอยู่เหมือนกัน

ก็เนื้อหาแบบนี้มีแต่ Functional analysis ไม่ใช่เหรอครับ :D ฮ่าฮ่า ก็จะว่าเรียนอยู่ก็คงได้ครับ :D ว่าแต่เรียนที่ไหนเหรอครับ บอกได้รึเปล่าเอ่ย??

เรียนที่ ม.ข. ค่ะ
M@gpie เรียนที่จุฬารึเปล่าคะ แล้วเรียนป.ตรี หรือ ป.โท เพราะวิชานี้เห็นอาจารย์บอกว่ามันเป็นหลักสูตรของ ป.โทค่ะ
แต่ที่นี่ให้ ป.ตรี pure math เรียน ส่วนป.โท จะเป็น หลักสูตรของ apply math ค่ะ