อสมการ แต่งเอง (จูกัดเหลียง)
อันนี้พี่จูกัดเหลียงเค้าแต่งเองนะครับ อยากมาปล่อยดูบ้าง
ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $\dfrac{1}{2+a^{1006}}+\dfrac{1}{2+b^{1006}}+\dfrac{1}{2+c^{1006}}=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\left(\,3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}\right) \left(\,3-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2013}}\right) \left(\,3-\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c^{2013}}\right) +27\left(\,1+\dfrac{a}{b}\right) \left(\,1+\dfrac{b}{c}\right) \left(\,1+\dfrac{c}{a}\right) \geq 3^5 $$ |
แทน $a=b=c=1$ แล้วมันไม่จริงนะครับ
|
แก้ไขโจทย์แล้วครับ
|
ขอ hint. หน่อยครับ งงมาก
|
พิจารณาว่า $1-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}} \ge \dfrac{1}{a^{2012}}$ ให้ $A=a^{1006}, B=b^{1006}, C=c^{1006}$ จะได้ $\displaystyle \prod_{cyc} (3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}) \ge \prod_{cyc}(2+\dfrac{1}{A^2})$ และโดย A.M-G.M $\displaystyle \prod_{cyc}(2+\dfrac{1}{A^2}) \ge \prod_{cyc}(1+\dfrac{2}{A}) = \prod_{cyc}(\dfrac{2+A}{A})$ แต่จากโจทย์ $\displaystyle 1 = \sum_{cyc}(\dfrac{1}{2+A})$ $\displaystyle 1 = 3-2 = \sum_{cyc}(1-\dfrac{2}{2+A}) = \sum_{cyc}(\dfrac{A}{2+A}) \ge 3\sqrt[3]{\prod_{cyc} \dfrac{A}{2+A}} $ ดังนั้น $\displaystyle \prod_{cyc}(\dfrac{2+A}{A}) \ge 27$ จึงสรุปได้ว่า $\displaystyle \prod_{cyc} (3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}) \ge 27$ ต่อมา $(1+\dfrac{a}{b})(1+\dfrac{b}{c})(1+\dfrac{c}{a}) = 1+(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c})+1 \ge 8$ $\therefore \displaystyle \prod_{cyc} (3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}) +27(1+\dfrac{a}{b})(1+\dfrac{b}{c})(1+\dfrac{c}{a})\ge 27+27\cdot 8 = 3^5$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:22 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha