Fight for tmo14
 

เห็นปีที่แล้วทำกันปีนี้เลยอยากลองดูบ้าง
ช่วยกันลงโจทย์ที่น่าสนใจสำหรับTMOกันครับ

แปะคอมบิไว้ให้ข้อนึงครับ

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ จงหาจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน $(a_1,a_2,...,a_n)$ ของ $\{1,2,...,n\}$ ที่ทำให้ $$k\mid 2(a_1+a_2+...+a_k) \textrm{ สำหรับทุกๆ } k=1,2,...,n$$

อันนี้คือโจทย์ที่ผมเสนอไปเมื่อปีที่แล้วครับ :)

Geometry: ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมในระนาบ จงแสดงว่ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า $A'B'C'$ บนระนาบ

โดยที่ $A,B,C,A',B',C'$ เป็นจุดหกจุดที่แตกต่างกัน และ $AA',BB',CC'$ ตัดกันที่จุดๆ เดียว

Combi: ให้ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ จงแสดงว่าไม่มีรูป $2n+1$ เหลี่ยมในระนาบซึ่งมีจุดยอดทุกจุดมีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม

โดยทุกด้านมีความยาวเป็นจำนวนเต็ม และมีความยาวรอบรูป $2m+1$ หน่วย

#2 ไม่แน่ใจเท่าไหร่ ใช้ Recurrence Relation ไหวมั๊ยครับ

#3 เรขาฯ : สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าบนแต่ละด้าน แล้วลากเส้นเชื่อมจุดยอดสามเหลี่ยมด้านเท่าแต่ละรูปกับจุดยอกสามเหลี่ยม แสดงต่อว่าทั้งสามตัดกันจุดเดียว ใช้จุดดังกล่าวเป็นจุดศูนย์กลางวงกลม ซึ่งตัดเส้นเชื่อมทั้ง3เส้นนั้น เกิดจุดตัดสามจุด ลากเชื่อม แล้วไล่มุมแสดงให้ได้ว่า สามเหลี่ยมที่เกิดเป็นด้านเท่า

ผิด-ถูก ไม่รู้ครับ ;W;

ลองทำ Algebra ดูบ้างแล้วกันนะครับ :)

Inequality: ให้ $a,b,c,d\in\mathbb{R}_0^+$ และ $a+b+c+d=4$ จงหาค่าต่ำสุดของ

$$\frac{a}{b^3+4}+\frac{b}{c^3+4}+\frac{c}{d^3+4}+\frac{d}{a^3+4}$$

Algebra: ให้ $P(x),Q(x)$ เป็นพหุนามโมนิกที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและ $P(P(x))=Q(Q(x))$ ทุกจำนวนจริง $x$

จงแสดงว่า $P(x)=Q(x)$

Functional: จงแสดงว่าทุกๆ $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Z}$ จะมีจำนวนตรรกยะ $p,q$ โดยที่

$$f(\frac{p+q}{2})\geq \frac{f(p)+f(q)}{2}$$

Inequality วิธีนี้ได้มั้ยครับ ;w;

สมมติ : $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$
จะได้ว่า $a+b+c+d=4 \geqslant a+a+a+a=4a$
ดังนั้น $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant d\geqslant 0$
พิจารณา $1\leqslant a^3+1 \leqslant 2$
$\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{a^3+1} \leqslant 1$
$\frac{d}{2} \leqslant \frac{d}{a^3+1} \leqslant d$
ในทำนองเดียวกันจึงได้ว่า
$ \frac{a}{b^3+1} +
\frac{b}{c^3+1} +\frac{c}{d^3+1} +\frac{d}{a^3+1} \geqslant \frac{a+b+c+d}{2} =\frac{4}{2} =2 $

ไม่ได้ตั้งแต่บรรทัดแรกเลยครับๆ เพราะว่าอสมการไม่ symmetric อีกอย่างก็คือน้องลอกโจทย์มาผิดรึเปล่าครับ 555

ข้อ Algebra แทน x ด้วย P(x) ได้ว่า P(a)=Q(a) ทุก a=P(P(x)) จะได้ว่า P(x)=Q(x) มีรากเป็นอนันต์ จึงสรุปได้ P(x)=Q(x) ถูกมั้ยอ่าครับ

ข้อ function แทน p=q ก็จบเลยป่าวครับคุณ Beatmania

@ตอบเม้นบน

ข้อบนถ้าแทน $x\rightarrow P(x)$ จะได้ว่า $P(P(P(x)))=Q(Q(P(x)))$ ไม่ใช่เหรอครับ ไม่ใช่ $P(P(P(x)))=Q(P(P(x)))$

โทษทีครับสำหรับข้อ FE มีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า $p<q$ ครับ ไม่งั้นคงจะ Trivial 555

ข้อFEคิดอย่างนี้ได้ไหมครับ
สมมติให้ f((p+q)/2)<(f(p)+f(q))/2 ทุกp<q ....(1)
แทน p ด้วย (p+q)/2 ใน(1) จะได้f((p+3q)/4)<(f(p)+3f(q))/4
แทน p ด้วย (p+3q)/4 ใน(1) จะได้f((p+7q)/8)<(f(p)+7f(q))/8
โดยอุปนัย f((p+((2^n)-1)q)/2^n)=(f(p)+(2^n)-1)f(q))/2^n ทุกnเป็นจำนวนนับ

ถ้า f(p)$\geq$f(q)จะได้ f(p)$\geq$(f(p)+(2^n)-1)f(q))/2^n$\geq$f(q)
แต่f((p+((2^n)-1)q)/2^n)=(f(p)+(2^n)-1)f(q))/2^nเป็นจำนวนเต็มf(p),f(q)เป็นจำนวนเต็ม
นั่นคือมีจำนวนเต็มเป็นอนันต์ระหว่างf(p),f(q)ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ถ้า f(p)<f(q)ทำในทำนองเดียวกันจะเกิดข้อขัดแย้ง

เพราะฉะนั้นจะสามารถหาจำนวนตรรกยะp<qที่สอดคล้องเงื่อนไขได้ตามต้องการ

ได้ครับ :)

FE: 2. มีฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ โดยที่ $\forall n\in \mathbb{N},f(f(n))=2n$ หรือไม่?

ข้อInequality

ตอบ $\frac{16}{4^4+16}$ ป่าวครับ

อยากได้number theoryบ้างอะครับ:please: