ถามโจทย์ PMWC 1997
 

ในบรรดาจำนวนเต็มตั้งแต่ 1, 2, ..., 1997 จะทำการคัดเลือกจำนวนเต็มบวกบาง
ส่วนออก โดยมีเงื่อนไขว่า ผลบวกของ 2 จำนวนใดๆที่ถูกคัดเลือกมานี้จะต้องไม่เป็นพหุคูณของ 7
ถามว่า จำนวนเต็มที่สามารถคัดเลือกออกมาได้ทั้งหมดตามเงื่อนไขนี้มีมากที่สุดกี่จำนวน

จำนวนที่เลือกแล้วห้ามเลือกซ้ำปล่าวครับ

โจทย์ข้อนี้เป็นของชั้นประถม..ผมเคยทำเมื่อหลายปีก่อน...ถ้าผมทำไม่ผิดตอบ858ครับ

คิดไงหรอคับ..สอนผมหน่อย

เลือกจำนวนซ้ำกันได้ไหมครับ

ผมไม่ได้เลือกซ้ำครับ..คุณsharkyboyสมาชิกใหม่...ลองพิจารณาคำว่าเป็นพหุคูณของ 7(หารด้วย7ลงตัว)ดูให้ดี..แล้วหันไปดูจำนวนที่หารด้วย7ไม่ลงตัวด้วยครับ...2พวกนี้ต่างกันอย่างไร..เมื่อแบ่งพวกได้แล้วจึงมาหาว่าจะมีไ ด้มากสุดกี่จำนวน..ลองดูอีกนิดครับ

คุณsharkyboyสมาชิกใหม่...สมมตเปลี่ยนโจทย์เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่1ถึง7ลองหาดูจะพบว่ามีมากที่สุด4จำนวน..หารูปแบบให้พบ..ก็ทำได้แล้วครั บ

เมื่อวาน ลองทำดูแล้วก็ยังมองไม่ออก

โดยสรุปว่า แบ่งตัวเลขออกเป็น 2 กลุ่ม
กลุ่มที่ 1 มีตัวเลข 2 ตัว ที่รวมกันแล้วได้ 7, 14, 21, 28 ....
กลุ่มที่ 2 มีตัวเลข 2 ตัว ที่รวมกันแล้วต้องไม่ได้ผลรวมเป็น 7, 14, 21, 28 ...
มาลองดูพหุคูณของ 7 ทีละตัว


7
1+6
2+5
3+4

14
1+13
2+12
3+11
4+10
5+9
6+8
7+7

ยังงงๆอยู่เลยครับ

เมื่อพิจารณาการหารด้วย 7 จะแบ่งจำนวนเต็มใด ๆ ออกเป็น 7 กลุ่มในรูปของ 7k + r , โดยที่ k และ r เป็นจำนวนเต็ม และ r = 0, 1, 2, ... , 6

นั่นคือจำนวนตั้งแต่ 1, 2, 3, ... , 1997 จะมี 7 กลุ่มดังนี้

พวก 7k : 7, 14, ... , 1995 มี 285 จำนวน
พวก 7k+1 : 1, 8, ... , 1996 มี 286 จำนวน
พวก 7k+2 : 2, 9, ... , 1997 มี 286 จำนวน
พวก 7k+3 : 3, 10, ... , 1991 มี 285 จำนวน
พวก 7k+4 : 4, 11, ... , 1992 มี 285 จำนวน
พวก 7k+5 : 5, 12, ... , 1993 มี 285 จำนวน
พวก 7k+6 : 6, 13, ... , 1994 มี 285 จำนวน

ให้สังเกตว่า พวก 7k + 1 กับ 7k+6 จะนำมาพร้อมกันไม่ได้เป็นต้น

ดังนั้นเพื่อให้ได้มากที่สุดและมากที่สุดตามเงื่อนไข เราจะต้องเลือกพวก 7k+1, 7k+2, 7k+3 (หรือ 7k+4) มาทั้งหมด 286 + 286 + 285 และ เลือกได้อีก 1 จำนวนจากพวก 7k (เช่น 7 หรือ 14 หรือ 21 นำมามากกว่า 1 ตัวไม่ได้ เพราะจะทำให้ผลบวก เช่น 7 + 14 = 21 หารด้วย 7 ลงตัว)

รวม 286 + 286 + 285 + 1 = 858 จำนวน

ขอบคุณคุณgonครับ ยังสงสัยตอนท้ายๆว่า

และ เลือกได้อีก 1 จำนวนจากพวก 7k

หนึ่งจำนวนนั้นคืออะไร แล้วทำไมเลือกได้แค่ 1 จำนวน

ก็ ถ้ามี 7k มากกว่า 1 ตัวจะไม่ตรงตามเงื่อนไขครับ เช่นมี 7 กับ 14 จะทำให้บวกกันได้ 21 ครับ แต่ถ้ามีตัวเดียวจะไม่เป็นไรครับ

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ

ขอบคุณมากนะครับ...
ลองคิดตามๆไปก้ได้น่ะครับ...
แต่พอคิดเองใหม่ก้ไม่ได้อยุดี...
55+...
ขอบคุณมากนะครับที่ช่วยบอกวิธีคิดอ่ะ

คิดยังไงหรอครับ

งงไปหมดแล้วครับ (ผมอยู่ม.1)

ขอบคุณคุณgonที่ช่วยครับ..คุณsharkyboyลองทบทวนข้อเขียนคุณgonซัก2-3รอบ..ผมว่าเข้าใจไม่ยากครับ..พวก7kหมายถึงจำนวนที่หารด้วย7ลงตัว..พวก7k+1หมายถึงจำนวนที่หารด้วย7แล้วเหลือเศษ1..พวก7k+2หมายถึงจำนวน ที่หารด้วย7แล้วเหลือเศษ2....เช่นนี้เรื่อยไปจนถึง7k+6...คราวนี้มาดูว่าทำไม7k+1และ7k+2จึงมี286จำนวนมากกว่าตัวอื่น..เป็นเพราะ1997หา รด้วย7จะเหลือเศษ2ทำให้มีจำนวนที่มีเศษ1และ2มากกว่าพวกอื่น..ลองดูอีกทีครับ..