BMO2000 จงหาจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการ...
 

รบกวนสองข้อครับ ขอเเค่ Hint ครับ Belarusian MO 2000 :please:
ข้อ 1.จงหาจำนวนเต็ม $x,y$ ที่สอดคล้องกับสมการ

$$y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12)=0$$

ข้อ 2.จงหาจำนวนเต็ม $m,n$ ที่สอดคล้องกับสมการ

$$(m-n)^2(n^2-m)=4m^2n$$

Credit:IMOMATH.COM

จัดรูปได้เป็น $yx^2+(y^2-36)x+y(y-6)^2=0$

ดังนั้น $x = \frac{-(y^2-36)\pm\sqrt{-3(y-6)^3(y+2)}}{2y}$

ค่าในเครื่องหมายกรณฑ์จะต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และ y เป็นจำนวนเต็ม ทำให้ได้ว่า y ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดคือ y = ... ถึง ...

ปลุกข้อ 2 หน่อยครับ ๆ

ข้อ 2 มี m=n= 0 เพียงคำตอบเดียวครับ

ขอบทพิสูจน์อันวิจิตด้วยที
:please:

ลองคิดข้อ $2).$ เล่นๆ สนุกดีเหมือนกัน$$(m-n)^2(n^2-m)=4m^2n$$
ใช้หรม.แก้ก่อน $d=\textrm {gcd}(m,n)$
$x=\dfrac {m}{d},y=\dfrac {n}{d}$
จัดสมการใหม่เป็น$$(x-y)^2(dy^2-x)=4x^2y$$
ทำไปเรื่อยๆจน $y=\pm 1$ ที่เหลือก็ไม่ยาก

เก็บความสนุกไว้ให้คนข้างล่างบ้างละกัน