Unsolved inequality
 

รบกวนช่วยพิสูจน์ให้หน่อยครับ (ถ้ามันจริง) :please: ตอนนี้ยังติดๆอยู่ครับ เเต่มันมากกว่า $2$ เเน่ๆ ไม่รู้ว่าอันนี้จะจริงมั้ย
$a,b,c>0$


$\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge \frac{3}{\sqrt{2}}$

ไม่จริงครับ ให้ $b=c$ และให้ $a\to 0$

ครับ ตอนเเรกผมคิดว่าถ้าจริงอันนี้จะพิสูน์ได้ง่ายกว่าอันนี้มาก ( ซึ่งสวยงามมากด้วยครับ:great::great: )
ถ้า $a,b,c>0$ เเล้ว $$ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$$

ซึ่งเป็นโจทย์อสมการที่สมมูลกับ (ซักเเหล่งนึงใน MCT นี้เเหละครับ) ที่ว่า
ให้ $a,b,c>0$ เเละ $ab+bc+ca=1$ จงเเสดงว่า $$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge 2\sqrt{a+b+c}$$

ว่าจะลองดู เเต่ดูเเล้วยังไม่น่าจะมีปัญญาทำได้น่ะครับ :blood::blood::blood:

ปล.ผมอยากรู้ว่า http://www.artofproblemsolving.com/c...166513p5583746 เค้าทำกันไปได้ยังไงเหรอครับบ

เขามีโปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยคิดให้ แต่ไม่รู้รายละเอียดว่าทำได้ถึงระดับไหนครับ

$$\sum_{cyc}\sqrt{c^3+c}\geq 2\sqrt{a+b+c}$$

$$\iff \sum_{cyc}\sqrt{c(c+a)(c+b)}\geq 2\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

$$\iff (\sum_{cyc}\sqrt{c(c+a)(c+b)})^2\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$

$$\iff \sum_{cyc}a(a+b)(a+c) +2\sum_{cyc}\sqrt{ab(a+b)^2(b+c)(c+a)}\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$

$$\iff \sum_{cyc}(a^3)+3abc+\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+2\sum_{cyc}\sqrt{ab(a+b)^2(b+c)(c+a)}\geq 4\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+12abc$$

$$\iff \sum_{cyc}(a^3)+3abc+2\sum_{cyc}\sqrt{ab(a+b)^2(b+c)(c+a)}\geq 3\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+12abc$$

ซึ่งเป็นจริงจากที่

$$\sum_{cyc}(a^3)+3abc\geq \sum_{cyc} (a^2b+b^2a)$$

$$2\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{ab(b+c)(c+a)}\geq 2\sum_{cyc}(a+b)(ab+c\sqrt{ab})$$

$$2\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{ab(b+c)(c+a)}\geq 2\sum_{cyc}a^2b+b^2a+ac\sqrt{ab}+bc\sqrt{ab}) \geq 2\sum_{cyc}(a^2b+b^2a)+12abc$$

ยอดเยี่ยมมากครับน้องเจ :great::great: พี่มองบรรทัดนี้ไม่ออกเลย = ="