ช่วยทำโจทย์ให้หน่อยคะ มี 2 ข้อ วิชา Number Theory
 

1. ให้ $a = a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1} + ... + a_110 + a_0$ โดยที่ $a_i$ เป็นจำนวนเต็ม
ที่ $0\leqslant a_i\leqslant 9$ จงพิสูจน์ว่า $4|a$ ก็ต่อเมื่อ $4|10a_1 + a_0$

2. จงหาเศษจากการหาร $(1!)^2 - (3!)^3 + (4!)^4 - (9!)^5 + (6!)^6$ ด้วย $25$

1. ขาไป

จาก $4|10^k \ $ ทุก $k\geqslant 2$ ดังนั้น $4|a_n10^n + \cdots + a_210^2$ จะได้ว่า $4|10a_1+a_0$

ขากลับ

จาก $4|a_n10^n + \cdots + a_210^2$ และ $4|10a_1+a_0$ ดังนั้น $4|a$

2.

$(1!)^2 - (3!)^3 + (4!)^4 - (9!)^5 + (6!)^6 \equiv 1 - 16 + (-1)^4 -0 +0 \equiv 11 \pmod{25}$