ช่วยพิสูจน์ตรีโกณหน่อยครับ
 

จงพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้

1.sin (A+B+C) = sinAcosBcosC + cosAsinBcosC + cosAcosBsinC - sinAsinBsinC

2.(sec A+tan A-1)(sec A-tan A+1) = 2 tan A

1.จัดรูปเป็น sin[(A+B)+C)] จากนั้นใช้สูตร

sin(A+B) = sinA cosB + cos A sin B

แล้วใช้สูตร cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B กระจายอีกที

2. จัดรูปเป็น [sec A + (tan A -1)][sec A - (tan A - 1)]

จากนั้นกระจายออกมาโดยใช้สูตร $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$

จากนั้นกระจายออกมาอีกครั้ง แล้วใช้เอกลักษณ์ $sec^2A - tan^2A = 1$

ขอบคุณครับ

แล้วถ้าเป็น

1. cos^6 A+sin^6A = 1-3/4 sin^2 2A

2. 4 sin A sin(60 + A)sin(60-A) = sin 3A

3. sin 3A+sin7A+sin 10 A = 4 sin 5A cos 7A/2 cos 3A/2

ขอบคุณล่วงหน้าครับ


เอ่อ พี่ครับ คือ ข้อ 2 รูสึกว่าที่พี่บอกผม เครื่องหมาย + - ไม่ตรงกับโจทย์หรือเปล่าครับ หรือว่าพี่มีวิธีคิดอย่างไร ช่วยบอกผมด้วยนะครับ


โจทย์ : (sec A+tan A-1)(sec A-tan A+1) = 2 tan A

พี่บอกวิธีผม : [sec A + (tan A -1)][sec A - (tan A - 1)]

(เครื่องหมาย ไม่เหมือนกันนะครับ)

\[
\left( {\sec A + \tan A - 1} \right)\left( {\sec A - \tan A + 1} \right) = \left( {\sec A + \tan A - 1} \right)\left( {\sec A - \left( {\tan A - 1} \right)} \right)
\]

\[
\cos ^6 A + \sin ^6 A = \left( {\sin ^2 A + \cos ^2 A} \right)^3 - 3\sin ^2 A\cos ^2 A\left( {\sin ^2 A + \cos ^2 A} \right) = 1 - \frac{3}{4}\sin ^2 2A
\]

\[
4\sin A\sin \left( {60^ \circ + A} \right)\sin \left( {60^ \circ - A} \right) = 4\sin A\left( {\frac{3}{4}\cos ^2 A - \frac{1}{4}\sin ^2 A} \right) = 3\sin A\cos ^2 A - \sin ^3 A
\]
\[
= 3\sin A\left( {1 - \sin ^2 A} \right) - \sin ^3 A = 3\sin A - 4\sin ^3 A = \sin 3A
\]

\[
\sin 3A + \sin 7A + \sin 10A = 2\sin 5A\cos 2A + 2\sin 5A\cos 5A
\]
\[
= 2\sin 5A\left( {\cos 2A + \cos 5A} \right) = 2\sin 5A\left( {2\cos \left( {\frac{{7A}}{2}} \right)cos\left( {\frac{{3A}}{2}} \right)} \right) = 4\sin 5A\cos \left( {\frac{{7A}}{2}} \right)cos\left( {\frac{{3A}}{2}} \right)
\]

คือ ตรง 2sin 5Acos 5A นี่อะครับ มันมาจาก sin 10A + sin 0A หรือเปล่าครับ หรือมาจากไหนครับ คือสงสัยอะครับ

\[
\sin 2A = 2\sin A\cos A
\]
หรือ
\[
\sin A + \sin B = 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)
\]

รบกวนขอวิธีทำ ละเอียดๆ คือ ไม่เข้าใจว่า มันแปลงมายังไง ครับ
แล้วก็

1. 1/tan 3A-tan A - 1/cot 3A-cot A = cot 2A

2. (tan A+secA)^2 = 1 +sinA/1 - sinA

3. 2 sinAcosA - cosA/1-sinA+sin^2A-cos^2A = cot A