ถามเรื่องเศษส่วนหน่อยครับ
 

ถ้าจำนวนเต็มทุกตัวสามารถเขียนออกมาในรูปแบบของการบวกกันของการยกกำลังของ2
เศษส่วนทั้งหมดจะสามารถเขียนออกมาในรูปแบบของการบวกกันของหนึ่งหารการยกกำลังของ2ไหมครับ

ข้อความแรก ถ้าหมายถึงจำนวนเต็มด้วยกันสองจำนวนหรือเปล่าครับ ถ้าหมายถึงแบบนั้น ไม่จริงนะครับ

เช่น 5 เขียนได้เป็น $5 = 1^2 + 2^2$ แต่ 6 เขียนไม่ได้นะครับ

ข้อความแรก หมายถึงเลขฐานสองครับ ว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนด้วยเลขฐานสองได้ครับ
แบบ 1001 =2^4+2^0

มีตัวอย่างของข้อความที่สองหรือเปล่าครับ.:rolleyes:

สำหรับข้อความที่สอง ผมเคยอ่านมาว่าเศษส่วนสามารถเขียนในรูปแบบการบวกกันของเลขที่ข้างบนเป็นหนึ่งทุกตัวได้ครับ

เลยสงสัยครับถ้าจะเริ่มจากการที่เศษส่วนสามารถเขียนได้ในฐานสองจะไปต่อทางไหนดีรับแต่ผมยังสงสัยว่ามันจะรอบคลุมถึงทศนิยมบางตัวที่ไม่ม ีที่สิ้นสุดหรือปล่าว

ถ้าเป็นเศษส่วนอาจจะต้องเขียนฐานสองเป็นจำนวนอนันต์ครับ

เราสามารถหาอะไรน่าสนใจจากเรื่องนี้ได้ไหมครับเช่นทำนายว่าตัวหารอันไหนมีเศษเป็นอนันต์จากการดูขนาดเทียบกับยกกำลังกลับของสอง

ถ้าเราสามารถเขียนเศษส่วนเป็นการบวกของสองยกกำลังเราสามารถมองอนุกรมของสองยกกำลังนั่นเป็นสมการได้ไหมเพื่อที่จะหาธรรมชาติของทศนิยม

ในเมื่อเศษส่วนทุกจำนวนสามาถเขียนในรูปทศนิยมของเลขฐานสิบได้แล้ว
ก็น่าจะสามาถเขียนในรูปทศนิยมของเลขฐานสองได้ด้วย.....
ยกตัวอย่างเศษส่วนน้อยๆก่อนเช่น
1.$\frac{1}{4} =\frac{1_2}{100_2} =0.01_2$
2.$\frac{2}{5}=\frac{6}{15} =\frac{110_2}{1111_2} =0.011001100110...=0.\dot 0 11\dot 0 _2$
3.$\frac{3}{7} =\frac{11_2}{111_2} =0.011011011...=0.\dot 0 1\dot 1 _2$
4.$\frac{4}{9} =\frac{28}{63} =\frac{11100_2}{111111_2} =0.011100011100011100...=0.\dot 0 1110\dot 0 _2$
ถูกต้องไหมครับ
ส่วนวิธีหาพอมีเวลาจะมาสาธยายให้ครับ

อีกชุดตัวอย่างของเศษส่วนที่มีส่วนเป็นจำนวนคู่ก็สามรถเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมของเลขฐานสองได้อย่างเป็นระบบ
1.$\frac{3}{10} =\frac{9}{30} =\frac{1001_2}{11110_2}=0.0\dot 100\dot 1_2$
2.$\frac{5}{12} =\frac{101_2}{1100_2}=0.01\dot 1\dot 0_2$
3.$\frac{9}{14} =\frac{1001_2}{1110_2}=0.1\dot 01\dot 0_2$
4.$\frac{11}{16} =\frac{1011_2}{10000_2}=0.1011_2$
5.$\frac{13}{18} =\frac{91}{126} =\frac{1011011_2}{1111110_2}=0.1\dot 01110\dot 0_2$
จึงมีความเป็นไปได้สูงมากๆที่เศษส่วนทุกจำนวนจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป2ยกกำลังจำนวนเต็มได้

มีวิธีแยกไหมว่าเศษส่วนไหนสามารถเขียนด้วย 2ยกกำลังจำนวนเต็ม จำนวนจำกัด และ เศษส่วนไหนต้องการ 2ยกกำลังจำนวนเต็ม จำนวนอนันต์

มีวิธีดูครับว่าเศษส่วนตัวไหนเมื่อเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของสองยกกำลังจำนวนเต็มแล้วเป็นอนุกรมจำกัดหรือไม่จำกัด
โดยใช้ทฤษฎีจำนวนเข้ามาช่วยและอาจเข้าไปเกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป $2^n-1$ครับ

นอกจากนี้ผมยังเดาว่าเศษส่วนทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของเลขอื่นยกกำลังจำนวนเต็มได้เช่น
$\frac{2}{3} $สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของสามยกกำลังจำนวนเต็มได้หรือสามารถเขียนให้อยู่ในเลขทศนิยมฐานสามได้หรือจะเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมฐาน สี่ก็ได้ครับ

ไม่ต้องเดาหรอกครับ จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถเขียนในระบบฐาน $b>1$ ได้ทั้งนั้น

ขยายความตรงนี้หน่อยได้ไหมครับสนใจ