|
เรื่องเซต พิสูจน์ไม่ออกเลยครับ
รบกวนพี่ช่วยพิสูจน์ให้ทีครับไม่ค่อยเข้าใจเลยว่าจะเริ่มแบบไหนดีครับ
1.จงแสดงว่าถ้า $m^*(A)=0$ แล้ว $m^*(A\cup B)=m^*(B)$ ทุก $B$ ที่เปนสับเซตของ $\mathbb{R}$ ($m^*$คือเมเชอร์น่ะครับ) 2.จงแสดงว่าทุก countable set มี measure $0$ 3.ให้ $\{I_n\}$ เปนเซตจำกัดของช่วงซึ่ง $[0,1]$ เป็นสับเซตของ $\bigcup I_n$ จงแสดงว่า $\sum l(I_n)\geq 1 $ ; $l(I_n)$ คือความยาวช่วง $I_n$ 4.ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซต measurable จงแสดงว่า $A-B$ และ $A\cap B$ เป็นเซต measurable ขออภัยครับที่พิมพ์อ่านยากครับ กำลังหัดพิมพ์ลาเทกครับ รบกวนช่วยพิสูจน์ด้วยครับ Note : น่าจะหัดพิมพ์ภาษาไทยด้วยนะครับ (nooonuii) |
1. $m^*(A\cup B)=m^*(B\cup (A-B))$ 2. ให้ $A=\{a_1,a_2,...\}$ $m^*(A)=m^*(\bigcup_{n=1}^{\infty}\{a_n\})\leq \sum_{n=1}^{\infty}m^*(\{a_n\})$ 3. $1=m^*([0,1])\leq m^*(\bigcup I_n)\leq \sum m^*(I_n)$ 4. พิสูจน์ว่า $A\cup B$ measurable ก่อน ถ้าอ้างอันนี้ได้ก็จบเำพราะจากนิยามของ measurable set เราจะได้ทันทีว่า $A^c,B^c$ measurable ดังนั้น $A\cap B = (A^c\cup B^c)^c$ $A-B=A\cap B^c$ เป็น measurable set ลองคิดจาก Hint ก่อนครับ ถ้ายังไม่ได้เดี๋ยวจะมาอธิบายเพิ่มเติม |
ขอบคุณครับพี่เดี๋ยวผมลองทำดูเลยครับ
|
พี่ครับผมลองทำตามนิยามดูแล้ว แต่บอกตรงๆเลยว่าไม่เข้าใจไม่รู้ทำงัยดีครับ กลุ้มใจมากๆเวลานี้ เพราะท่าทางจะต้องใช้เรื่องนี้ไปอีกนานเลย รบกวนพี่ช่วยพิสูจน์ให้ดูด้วยครับ แล้วก็ผมอยากถามพี่ว่า เอาเทอร์ เมเชอร์นี่ผมดูนิยามแล้วมองภาพไม่ออกเลยครับว่ามันคืออะไรน่ะครับ แล้วมันสามารถมองเปนเชิงเรขาคณิตได้ไหมครับ เหมือนเมทริกซ์เสปซที่อาจมองเป็นระยะห่างได้น่ะครับ ยังงัยรบกวนพี่ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยนะครับ แล้วถ้าไม่ลำบากอยากให้พี่ช่วยอธิบาย เอาเทอร์ เมเชอร์ ให้หน่อยได้ไหมครับ จะเป็นพระคุณมากๆเลยครับ ขอบคุณครับพี่
|
รบกวนด้วยนะครับพี่ จะชอบพระคุณมากเลยครับ
|
ความหมายเชิงเรขาคณิตของ measure คือ การวัดขนาดของเซต ครับ
เป็นความพยายามในการอธิบายคำว่า ความยาว พื้นที่ ปริมาตร,.... ให้มันใช้งานกับเซตใดๆก็ได้ไม่จำกัดอยู่แค่รูปทรงทางเรขาคณิตที่เ้รารู้จัก ในระดับมัธยมอย่างเช่น ส่วนของเส้นตรง วงกลม วงรี ทรงกลม ปิรามิด ปริซึม เพียงอย่างเดียว สำหรับเรขาคณิตสมัยใหม่วัตถุที่เราสนใจและจะต้องเอาไปใช้งานมันมีมากกว่านั้นมาก เราจึงต้องสร้างเครื่องมือชนิดใหม่ซึ่งเป็นความคิดรวบยอดที่ใช้อธิบายสิ่งเหล่านี้ขึ้นมา outer measure นั้นสร้างขึ้นมาเพื่อรองรับความต้องการที่ผมกล่าวมาข้างบน บวกกับคุณสมบัติอันพึงประสงค์อีก 3-4 อย่างซึ่งเป็นคุณสมบัติที่้เซตง่ายๆที่เรารู้จักมีอยู่ก่อนแล้ว (แน่นอนว่าถ้าเราจะสร้างเครื่องมือใหม่ๆขึ้นมาเพื่อใช้อธิบาย สิ่งที่มันกว้างขึ้นจากของเิดิมที่เรามีอยู่ เครื่องมือนั้นจะต้องมีคุณสมบัติของสิ่งเดิมๆอยู่ด้วย) แต่มันก็ไม่ได้สอดคล้องคุณสมบัติที่เราอยากได้เสียทั้งหมด เราจึงต้องสร้างนิยามของ measurable set ขึ้นมา เพื่อให้ทุกอย่างมันเป็นไปตามที่้เราอยากให้เป็น นิยามของ outer measure อาจจะดูยุ่งยาก แต่ถ้าเข้าใจความหมายของมันแล้วเราจะเข้าใจว่าทำไมต้องนิยามอย่างนั้น และมันคือนิยามที่เป็นธรรมชาติที่สุด อย่างเช่นนิยามของ (Lebesgue) outer measure บนสับเซตของจำนวนจริง เริ่มจากเรารู้ว่า ความยาวของช่วงก็คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นกับจุดปลายของช่วง เช่น ความยาวของช่วงปิด $[0,1]$ ก็คือ $1$ ถ้าเราอยากวัดขนาดของเซตอื่นที่ไม่ใช่ช่วงจะทำอย่างไร? เราก็ลองเอาช่วงหลายๆช่วงมาคลุมเซตนี้ไว้แล้วลองหาค่าประมาณขนาดของเซตนี้ จากผลรวมของความยาวช่วงที่เราเลือกมาคลุม แต่เราจะเลือกช่วงมาคลุมเซตนี้อย่างไรเพื่อให้ได้ขนาดที่แท้จริงของเซตที่เราสนใจ? เราก็เลือกทุกแบบที่เป็นไปได้ แล้วคัดเอาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ ซึ่งค่านี้น่าจะมีค่าความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุดแล้ว จึงเป็นที่มาของนิยามที่ว่า $$m^*(A)=\inf\{\sum_{k}l(I_k)|A\subseteq\bigcup_k I_k\}$$ นั่นเองครับ ความยากของการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับนี้มาจาก การทำความเข้าใจข้อความทางตรรกศาสตร์แบบข้างบนนี่แหละครับ อย่าไปหลงอยู่กับสิ่งเหล่านี้ครับ เราต้องหาทางอธิบายสิ่งเหล่านี้ ด้วยภาษาที่เราเข้าใจได้ง่ายอย่างที่ผมอธิบายมาข้างต้น (แต่ไม่แน่ใจว่า่ง่ายสำหรับคนอื่นด้วยรึเปล่า :D) |
Note : $m^*(A)\geq 0$ for all $A$ 1. $B\subseteq A\cup B\Rightarrow m^*(B)\leq m^*(A\cup B)$ $A-B\subseteq A\Rightarrow m^*(A-B)\leq m^*(A)=0$ $m^*(A-B)=???$ $m^*(A\cup B)=m^*(B\cup (A-B))\leq m^*(B)+m^*(A-B)=???$ 2. ให้ $A=\{a_1,a_2,...\}$ $m^*(A)=m^*(\bigcup_{n=1}^{\infty}\{a_n\})\leq \sum_{n=1}^{\infty}m^*(\{a_n\})$ $m^*(\{a_n\})=???$ 3. $1=m^*([0,1])\leq m^*(\bigcup I_n)\leq \sum m^*(I_n)$ $m^*(I_n)=???$ 4. พิสูจน์ว่า $A\cup B$ measurable ก่อน (See textbook for the proof : It's quite long and tricky) ถ้าอ้างอันนี้ได้ก็จบเำพราะจากนิยามของ measurable set เราจะได้ทันทีว่า $A^c,B^c$ measurable ดังนั้น $A\cap B = (A^c\cup B^c)^c$ $A-B=A\cap B^c$ เป็น measurable set |
ขอบคุณพี่ nooonuii มากๆๆเลยครับ ผมจะพยายามอย่างเต็มที่เลยครับ พี่ครับสำหรับมือใหม่นี่ ควรอ่านเล่มไหนดีครับในหัวข้อ เมเชอร์น่ะครับ ปล.ขอบคุณสำหรับ hint รอบ2มากๆครับพี่
|
พี่ nooonuii อธิบายได้เข้าใจมากๆครับ จากใจจริง
|
Real Analysis ของ Royden ครับ เป็น textbook ระดับ graduate แต่มีข้อดีคือ ผู้เขียนเน้น Lebesgue measure ก่อน จึงทำให้ไม่ต้องไปงงอยู่กับนิยามของ measure แบบทั่วไปมากนัก
textbook measure theory ทั่วไปที่เขียนสำหรับระดับ undergraduate คิดว่าเหมาะสำหรับผู้เริ่มต้นทั้งหมด ชอบเล่มไหนก็เลือกอ่านเล่มนั้น จริงๆแล้วหนังสือเล่มไหนที่เราอ่านแล้วชอบ นั่นแหละครับคือหนังสือที่ดีสำหรับเรา ต้องลองอ่านดูก่อนครับแล้วจะรู้ |
คราวก่อนทำได้หมดแล้วครับพี่(แหะๆhintขนาดนั้นทำไม่ได้ก็แย่แล้ว แหะๆ) พี่nooonuii ครับผมมีการบ้าน2ข้อครับ รบกวนพี่Hint ให้หน่อยครับพี่ ไม่เข้าใจ (measurable setครับ)
ข้อ1.ให้ k>0 และ Aเป็นสับเซตของR กำหนดให้ kA = {x/ xส่วนk เป็นสมาชิกของ A ) จงแสดงว่า 1. m*(kA)=km*(A) 2.A measurable ก็ต่อเมื่อ kA measurable ข้อ2 ให้ Eเป็นสับเซตของM และ M measurable กำหนดให้ m(M) หาค่าได้ จงแสดงว่า M measurable ก็ต่อเมื่อ m(M)=m*(E)+m(M-E) ส่งพรุ่งนี้ละครับท่าจะแย่แล้วผม ไม่เข้าใจว่าการจะพิสูจน์การเป็น measurable ต้องพิสูจน์อะไร ยังไงน่ะครับ กลุ้ม |
อ้างอิง:
ดังนั้น $m^*(kA)\leq km^*(A)$ อีกข้างทำคล้ายๆกัน 2. โจทย์น่าจะเป็นอย่างนี้นะครับ $E$ measurable ก็ต่อเมื่อ $m(M)=m^*(E)+m^*(M-E)$ การพิสูจน์ว่าเซต $E$ measurable ก็คือการพิสูจน์ว่า $$m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$$ ทุกเซต $A$ แต่เรามีอสมการ $m^*(A)\leq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$ อยู่แล้ว(ทำไม?) จึงเพียงพอที่เราจะพิสูจน์ว่า $m^*(A)\geq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:25 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha