โจทย์ทฤษฎีจำนวนในค่ายสอวน.
1.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $999999\times n=111...11$
2.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ หรือ $3$ 3.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $a^2+b^2=c^2$ จงพิสูจน์ว่า $(a,b,c)=1$ ก็ต่อเมื่อ $(a,b)=(a,c)=(b,c)=1$ ช่วยหน่อยนะครับ :please::please: |
1.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 999999×n=111...11
2.ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a,b)=1 จงพิสูจน์ว่า (a+b,a2−ab+b2)=1 หรือ 3 3.ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a2+b2=c2 จงพิสูจน์ว่า (a,b,c)=1 ก็ต่อเมื่อ (a,b)=(a,c)=(b,c)=1 ข้อ2 (a+b,a2−ab+b2)=(a+b,a2−ab+b2-(a+b)2) =(a+b,-3ab) =(a+b,-3ab+(a+b(3b)) =(a+b,3b2) =1,3 ข้อ3 ขากลับ สมมติให้มีบางค่าที่มี ห.ร.ม.ไม่เท่ากับ1 โดยไม่เสียนัยสำคัญ สมมติให้เป็น (a,b)=k ดังนั้น a=mk,b=nk for m,n\in Z a2+b2=c2 = (mk)2+(nk)2=c2 ดังนั้น k2 หาร c2 ลงตัว ขาไปก็คล้ายๆกัน |
2. ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$
จะได้ว่า $d|(a+b)$ และ $d|(a^2-ab+b^2)$ จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|(a^2+2ab+b^2)$ นั่นคือ $d|3ab$ จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|3a(a+b)$ นั่นคือ $d|(3a^2+3ab)$ แต่ $d|3ab$ ดังนั้น $d|3a^2$ ในทำนองเดียวกันได้ว่า $d|3b^2$ ด้วย ดังนั้น $d|(3a^2,3b^2)$ นั่นคือ $d|3(a^2,b^2)$ แต่จาก $(a,b)=1$ $=>$ $(a,b^2)=1$ $=>$ $(a^2,b^2)=1$ จะได้ว่า $d|3$ นั่นคือ $d=1$หรือ$3$ ตามต้องการ 3. จาก $(a,b,c)=1$ $(=>)$ $((a,b),c)=1$ $(=>)$ $((a,b),c^2)=1$ $(=>)$ $((a,b)^2,c^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,b^2),c^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,b^2),a^2+b^2)=1$ $(=>)$ $(a^2,b^2,a^2+b^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,a^2+b^2),b^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,b^2),b^2)=1$ $(=>)$ $(a^2,b^2)=1$ $(=>)$ $(a,b)^2=1$ $(=>)$ $(a,b)=1$ ในทำนองเดียวกันได้ว่า $(b,c)=(a,c)=1$ ตามต้องการ |
ข้อ 3. วิธีนี้ดูแปลกดีนะครับ
แต่ก็ถูกต้องตามหลักเป๊ะๆ |
ข้อ 1 นะครับ
9 * 12345679 = 111...1 99 * 11223344...7789 = 111...1 999 * 111222333...777889 = 111...1 9999 * 111122223333...77778889 = 111...1 . . . 999999 * 111111222222333333...777777888889 = 111...1 แต่ผมไม่แน่ใจว่าเป็นตัวที่เล็กที่สุดรึเปล่าครับ |
อ่า... ไม่ทราบว่า
โจทย์เหล่านี้ใช่ข้อสอบค่ายแรก ของปีใดปีหนึ่งหรือไม่ครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:56 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha