ช่วยคิดหน่อยครับ: (p-1)!+1=p^k
ช่วยทำให้หน่อยครับ คิดมานานแล้ว
ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ (p-1)!+1=p^k สำหรับบางจำนวน kฮN จงพิสูจน์ว่า p=2,3,5 เท่านั้น :tired: Edit หัวข้อให้ชัดเจนกว่าเดิมครับ |
ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ (p-1)!+1=p^k สำหรับบางจำนวน kฮN จงพิสูจน์ว่า
p=2,3,5 เท่านั้น บทพิสูจน์ (เขียนพอเป็นแนวทางพอนะครับ) กำหนดให้ p = 2m+1 $ (2m)! = (2m + 1)^{ k } - 1 $ $ (2m)! = (2m)^{k}+ { k\choose k-1}(2m)^{k-1}+ ... + {k \choose k-2}(2m)^2 + 2mk $ $ (2m-1)! = (2m)^{k-1}+{k \choose 1}(2m)^{k-2}+ ... + {k \choose k-2}(2m) + k $ $ (2m-1)(2m-2)...(m+1)(m)(m-1)...(2)(1) = 2m(...) + k $ ถ้า m > 2 แล้ว 2m หาร k ลงตัว เพราะฉะนั้น k ณ 2m ให้ $ (2m)^{k-1} + {k \choose 1}(2m)^{k-2}+ ... +{k \choose k-2}(2m) + k = A $ A > $ (2m)^{2m-1} > (2m-1)! $ ดังนั้น p= 2,3,5 เท่านั้น |
เยี่ยมมากครับ ผมยังคิดข้อนี้ไม่ออกเลย รู้แต่ว่ามันเป็น special case ของ Erdős & Graham problem: $$(p-1)!+a^{p-1}=p^k$$ ทำให้ไม่ค่อยแน่ใจว่าข้อนี้มี elementary solution หรือเปล่า
|
ขอบคุณครับ ผมเพิ่งเข้ามาตอบครั้งแรกครับ :) ถ้ามีไรแนะนำด้วยก็ดีครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:30 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha