|
=='
$a,b,c\in \mathbb{R^{+}} ,a^2+b^2+c^2=1$
\[\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+2bc}\geqslant \frac{3}{\sum_{cyc}(\frac{2a-b}{a-b})^2}.\] |
อ้างอิง:
|
โจทย์ผิดนะครับ...ต้องเป็นแบบนี้ต่างหากครับ :)
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
พิสูจน์ว่า $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+2bc}\geq\frac{3}{5}$ พิสูจน์ว่า $\displaystyle\frac{3}{5}\geq\frac{3}{\sum_{cyc}\left(\frac{2a-b}{a-b}\right)^2}$ ให้ $\displaystyle\frac{a}{a-b}=x,\frac{b}{b-c}=y,\frac{c}{c-a}=z$ ได้ว่าต้องพิสูจน์ $\displaystyle\sum_{cyc}x^2+2\sum_{cyc}x+3\geq5$ แต่จาก $xy+yz+zx+1=x+y+z$ ได้ว่าต้องพิสูจน์ว่า $(x+y+z)^2\geq0$ ซึ่งเป็นจริงโดยชัดเจน |
$\bullet$ เป็นอสมการที่ผสมกันสองอสมการนี่เอง
ในส่วนหลัง $\Big(\dfrac{2a-b}{a-b}\Big)^2+\Big(\dfrac{2b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{2c-a}{c-a}\Big)^2\geq 5$ ผมทำคล้ายๆกันแต่ลุยตรงๆ ให้ $x=\dfrac{2a-b}{a-b},y=\dfrac{2b-c}{b-c},z=\dfrac{2c-a}{c-a}$ จะได้ว่า $xy+yz+zx=3(x+y+z)-7$ ดังนั้น $x^2+y^2+z^2=(x+y+z-3)^2+5 \geq 5$ $\bullet$ อสมการที่คล้ายกับข้างบนคืออสมการนี้ครับ $\Big(\dfrac{2a-b}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{2b-c}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{2c-a}{a-b}\Big)^2\geq 13$ เปลี่ยนเทอมนิดหน่อยแต่ค่าต่ำสุดเปลี่ยนไปเยอะเลย |
อันนี้เป็น General Form ครับ
ให้ $\alpha\neq\beta$ เป็นค่าคงที่ $\Big(\dfrac{\alpha a-\beta b}{a-b}\Big)^2+\Big(\dfrac{\alpha b-\beta c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{\alpha c-\beta a}{c-a}\Big)^2\geq \alpha^2+\beta^2$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:25 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha