อสมการ cyc 4 ตัวแปร
 

ให้ $a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$
พิสูจน์ว่า
1)$ab+bc+cd+da \le \dfrac{1}{4}(a+b+c+d)^2$
2)$abc+bcd+cda+dab \le \dfrac{1}{16}(a+b+c+d)^3$

พิสูจน์
จาก $(a+c-b-d)^2 \ge 0$
จะได้ $(a+b)^2-2(a+b)(c+d)+(c+d)^2 \ge 0$
$a^2+2ab+b^2+c^2+2cd+d^2\ge 2ab+2bc+2cd+2da$
บวก $2ab+2bc+2cd+2da$ ทั้งสองข้าง
จะได้ $a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\ge 4ab+4bc+4cd+4cd\ge$
$\therefore (a+b+c+d)^2\ge 4ab+4bc+4cd+4da$
ดังนั้น $ab+bc+cd+da \le \dfrac{1}{4}(a+b+c+d)^2$

ข้อสองโจทย์ผิดหรือเปล่าครับ?
ตอนกระจายฝั่งขวามันมี $\frac{3}{2}(abc+abd+acd+bcd)$ จบเลยนะครับ

ให้ $a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$ พิสูจน์ว่า
2) $abc+bcd+cda+dab \le \dfrac{1}{16}(a+b+c+d)^3$

ขอบคุณครับ

ลองดูอันนี้

Maclaurin's inequality

ขอบคุณครับ

= Maclaurin's Inequalilty =
$S_1\geqslant \sqrt{S_2}\geqslant \sqrt[3]{S_3}\geqslant ... \geqslant \sqrt[n]{S_n} $