Convex problem
 

Assume that $\phi $ is twice differentiable function, show that $\phi$ is convex if and only if $\phi''(x) \geqslant 0 $ for all $x$

รบกวนพี่ๆช่วยแนะนำหน่อยครับ :please::please:

Hint: สังเกตว่า convex function, linear approximation ของมันจะ underestimate อยู่ต่ำกว่าตัว function เสมอ(ไม่ก็ค่าเท่ากัน) นั่นคือ $f(x)\geqslant f(y)+f'(y)(x-y)$
ใช้ fact นี้ช่วย prove $ (\Rightarrow )$
ส่วน $(\Leftarrow ) $ใช้ Taylor theorem ที่ 2nd order

Fact นี้เป็น well-known result และเป็น alternative definition ในกรณี convex differentiable function
ซึ่งจริงใน $f:\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} $
ด้วยแค่เปลี่ยนจาก f' เป็น $\bigtriangledown f$, f'' เป็น Hessian และ prove ใช้ไอเดียเดียวกัน

ช่วยขยายความอีกสักนิดได้ไหมครับ แล้ว fact ที่แนะนำมาจะลิงค์ไป second derivative ได้ยังไงครับ :please:

Restrict to a line segment x+tv ; $0\leqslant t\leqslant 1$
Taylor's: $f(x+tv)=f(x)+f'(x)tv +f''(x)t^2v^2 + o(t^2)$ ย้ายข้างสองตัวแรกไป LHS ใช้ subgradient property ที่บอกไปตอนแรก แล้วหาร$ t^2 $ทั้งสองข้าง take limit t->0 จบ.

Taylor Expansion ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $\phi$ มัน $n+1$ differentiable นะครับ :cry:

ก็โจทย์เขียนว่า twice differentiable ไม่ใช่หรอครับ? และแค่ k times differentiable ใดๆก็ใช้ Taylor Theorem ถึง k-th order ได้ครับ
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem