อสมการค่าย1
 

a,b,c,d>0 prove

$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geqslant \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$

เหมือนมีคนลงเเล้วอ่ะครับ
กำหนดฟังก็ชัน $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-px^3+qx^2-rx+s$
$f '(x)=4x^3-3px^2+2qx-r=(x-k)(x-m)(x-n)$
ดังนั้น $$\frac{3p}{4}=k+m+n\ge 3\sqrt[3]{kmn}=3\sqrt[3]{\frac{r}{4}}$$
ซึ่งเหลือเพียงเเสดงว่า $\sqrt{\frac{p^2-2q}{4}}\ge p/4\leftrightarrow 3p^2-8q\ge 0$
ซึ่งจริงเพราะ $(a+b+c+d)^2\ge \dfrac{8}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

แล้วมันทำอสมการตรงๆไม่ได้หรอครับ

ผมคิดว่า $a^2+b^2+c^2+d^2\geq \dfrac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ นะครับ

เพิ่มอีกครับ ผมไม่เก่งด้านนี้

0<a,b,c<1,a+b+c=2 prove

ผลคูณ cyc ของ $\frac{a}{1-a} >=8$

เปลี่ยนตัวแปร $1-a=x$ ครับ จบด้วย AM-GM

เปลี่ยนตัวแปรทั้งa,b,cตาม #6
ได้เป็น $ L.S. = (\frac{1-x}{x})(\frac{1-y}{y})(\frac{1-z}{z}) =\frac{1+xy+yz+zx-x-y-z-xyz}{xyz}$
$ a+b+c=(1-x)+(1-y)+(1-z)=2 ได้ x+y+z=1 $
$ L.S.=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-1 $
$ =(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z)-1 $
เพราะว่า $x+y+z =1 $
By A.M.-H.M. ได้ว่า
$ L.S.\geqslant 3^2-1=8 $

#4 เเก้เเล้วครับเบลอเอง :sweat:
#6 แบบนี้สินะครับ :haha: จะได้ว่า $x+y+z=1$ เเละต้องการเเสดงว่า
$$\frac{(1-x)(1-y)(1-z)}{xyz}\ge 8\leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\ge 8$$

เย้ขอบคุณครับ ทำไมผมคิดไม่ออกนะ

ผมทำแบบนี้ครับ มันจะได้
ก้อนนั้นหลังเปลี่ยนตัวแปล $\frac{(x+y)(x+z)(z+y)}{xyz}$

Am GM ตัวในวงเล็บได้เลย ทำได้ข้อแรก(โดยมีhint)

ขอบคุณครับ :happy:
ตอนสอบจริงมองไม่เคยออก 555+

ข้อนี้สวยพอตัวนะครับ :haha:


ก็เอา lemma ที่ได้ไปแทนครับ ก็จะได้

$$\dfrac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$

มันยังคงเหลือที่เราต้องพิสูจน์ว่า

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}$$

ซึ่งเป็นจริงตามอสมการโคชี

อยู่ในห้องสอบผมจะได้ขนาดนี้ไหมเนี่ย ตั้งหลายstep