อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
คือมันมีโจทย์ใน Mathscope ข้อนึงอะคับให้พิสูจน์ว่า
ถ้า $ x+y=a+bและ x^4+y^4=a^4+b^4 แล้ว x^n+y^n=a^n+b^n $ ขอพี่ๆช่วยตรวจสอบวิธีหน่อยอะคับ พิจารณา $(x^2+y^2)^2=a^4+b^4+2x^2y^2 $ $x^2+y^2=(a+b)^2-2xy$ แทนค่ากลับ ได้ $[(a+b)^2-2xy]^2=a^4+b^4+2x^2y^2$ $4a^3b+6a^2b^2+4ab^3-4xya^2-4xyb^2-8xyab+2x^2y^2=0$ $(2a^2+2b^2+3ab-xy)(xy-ab)=0$ $xy=ab$ $x+y=a+b$ $x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2$ $x^2-2xy+y^2=a^2-2ab+b^2$ $(x-y)^2=(a-b)^2$ $x+b=y+a$ $x+y=a+b$ $b-y=y-b$ $x=a,y=b$ ดังนั้น $x^n-a^n=b^n-y^n$ เพราะต่างก็มี $(x-a),(y-b)$ เป็นตัวประกอบ จึงเป็นจริง |
ทำไม $2a^2+2b^2+3ab-xy\not =0$ ล่ะครับ
|
จากสมการข้างบน ถ้าเปลี่ยน
$a^2+b^2=(x+y)^2-2ab$ ในทำนองเดียวกันก็จะได้ $2x^2+2y^2+3xy-ab=0$(ความสมมาตรของตัวแปร) พิจารณา ถ้า $2a^2+3ab+2b^2-xy=0$ $2x^2+3xy+2y^2-ab=0$ นำทัั้ั้้งสองสมการบวกกัน $a^2+ab+b^2+x^2+xy+y^2=0$ $(a+b)^2+(x+y)^2=-ab-xy$ เป็นไปไม่ได้ พิสูจน์จากอสมการ $(a+b)^2\geqslant 4ab$ $(x+y)^2\geqslant 4xy $ $(a+b)^2+(x+y)^2\geqslant 4ab+4xy$ จบ ไม่รู้ถูกป่าวอะคับ - -* พี่ Maphybich เค้าใช้อุปนัย มองว่า P(k) เป็นจริงแล้วลองเขียนสมการ P(k+1) แล้วลองมองที่ P(4) ซึ่งเป็นจริงแน่นอนก็จะออกครับ คือผมยังงงๆวิธีอะคับ ใครใจดีช่วยอธิบายหน่อย plz^^ |
อ้างอิง:
จาก $(2a^2+2b^2+3ab-xy)(xy-ab)=0$ เราแยกเป็นสองกรณื กรณีืที่ 1 $2a^2+2b^2+3ab-xy=0$ จะได้ $2(a+b)^2-ab-xy=0$ $(a+b)^2+(x+y)^2-ab-xy=0$ $a^2+ab+b^2+x^2+xy+y^2=0$ $(a+\dfrac{b}{2})^2+(x+\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3}{4}b^2+\dfrac{3}{4}y^2=0$ $a=b=x=y=0$ กรณีที่ 2 $xy=ab$ พิสูจน์โดย induction ดังนี้ $x^{n+1}+y^{n+1}=(x+y)(x^n+y^n)-xy(x^{n-1}+y^{n-1})$ $~~~~~~~~~~~~~~~=(a+b)(a^n+b^n)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})$ $~~~~~~~~~~~~~~~=a^{n+1}+b^{n+1}$ :yum: |
แล้วข้อนี้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้หรือเปล่าอะคับ
|
อ้างอิง:
|
ขอบคุณครับ ^^
|
ทำไมคุณ Breeze ถึงมาเหน็บผมอย่างนี้เนี่ย = = ฟังผมพูดไม่รู้เรื่องแล้วยังมาพูดมั่วอีกเนี่ย ...
ผมบอกให้ มองว่า P(k) เป็นจริงแล้วลองเขียนสมการ P(k+1) แล้วลองมองที่ P(4) ซึ่งเป็นจริงแน่นอนก็จะออกครับ = = |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:08 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha