พีชคณิตหลุดโลก ..
คือมีโจทย์ มาครับ(ไม่ได้คิดเอง) ค่อนข้างน่าสนใจ จึงอยากให้ทุกคนลองคิดดูครับ
1. ถ้า 5x2-2xy+2y2-2x-2y+1=0 แล้ว 10x-2y มีค่าเท่าใด(ThMO.1'43) 2.ถ้า xyz=1 และ x,y,z > 0 แปรค่าได้ จงหาจำนวนจริงที่มากที่สุด ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ \[x=\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} \] (ThMO.1'41) 3.ถ้า x= ึ2-1 แล้ว 1+6x+3x2+x6-2x7-2x8+2x9+x10 มีค่าเท่าใด (ThMO.1'40) 4.กำหนดให้ p2 = 1000002ท1000004ท1000008ท1000010 + n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก ค่า n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ p เป็นจำนวนเต็มบวกเป็นเท่าใด (ThMO.1'38) 5.จงหาจำนวนจริง x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ\[x=\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}\] (1stTMO'47) 6.ถ้า aณ 1 และ xฮ R จงหาค่า x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ \[\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x \] (ThMO.1'47) 7.จงหาสมการกำลังสองที่มีราก เป็นกำลังสองของรากของสมการ 4x2+3x-2=0 (ThMO.1'41) เดี๋ยวพอคิดได้ครบแล้ว อาจจะมีภาค 2 ครับ :) |
เฉลยข้อ 2
จาก \(xyz=1\) และ อสมการ AM-GM ได้ว่า \[ z^2+xy\geq2\sqrt{z^2xy}=2\sqrt{z} \]ทำนองเดียวกันได้ \(x^2+yz\geq2\sqrt{x},\,\,y^2+zx\geq2\sqrt{y}\) ดังนั้นตอบ 2 |
เฉลยข้อ 3
ได้ว่า \(x^2+2x-1=0\) ดังนั้น \[ 3x^2+6x=3(x^2+2x-1)+3=3,\,\, x^{10}+2x^9-x^8=x^8(x^2+2x-1)=0,\,\,-x^8-2x^7+x^6=-x^6(x^2+2x-1)=0 \] ดังนั้นตอบ 3 |
เฉลยข้อ 4
ให้ \(x=10^6\) ดังนั้น \[ p^2=[(x+2)(x+10)][(x+4)(x+8)]+n=(x^2+12x+20)(x^2+12x+32)+n=(y+26)^2+n-36 \] โดย \(y=x^2+12x\) ดังนั้น \(n>0\) ที่น้อยสุดที่ทำให้ \(p\) เป็นจำนวนเต็มคือ 36 |
เฉลยข้อ 5
ให้ \[ y=\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}} \] ดังนั้น \[ xy=x-1\Longrightarrow y=1-\frac{1}{x} \] ดังนั้น \[ x+1-\frac{1}{x}=2\sqrt{x-\frac{1}{x}} \] ให้ \(z=x-1/x\) ดังนั้น \(z+1=2\sqrt{z}\) นั่นคือ \(z=1\) แก้สมการได้ \[ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \] |
โห คุณ aaaa คิด 4 ข้อ ถูกหมดเลยครับ (เร็วด้วย-- โจทย์แค่นี้ ผมคิด ค่อน ชั่วโมงเลยครับ)
|
ช่วงนี้ว่างละคับ ขอแจมด้วยคน
7. จงหาสมการกำลังสองที่มีราก เป็นกำลังสองของรากของสมการ \(4x^{2}+3x-2=0\)(ThMO.1'41) ถ้าหาคำตอบออกมาตรงๆคงเหนื่อยน่าดูคับเพราะเป็นจำนวนอตรรกยะ ให้ a และ b เป็นรากของสมการ \( 4x^{2}+3x-2=0 \) ซึ่งจะได้ว่า \(a+b = -\frac{3}{4} และ ab = -\frac{1}{2}\) \( 4a^{2}+3a-2=0 .....(1)\) \( 4b^{2}+3b-2=0 .....(2)\) จับสองสมการบวกกันจะได้ \(4(a^{2}+b^{2}) +3(a+b) -4 =0 \) แทนค่า \(a+b จะได้ 4(a^{2}+b^{2}) -\frac{9}{4}-4=0\) จะได้ \(a^{2}+b^{2} = \frac{25}{16}\) เนื่องจาก \(ab = -\frac{1}{2} ดังนั้น a^{2}b^{2}=1/4\) และสมการที่มี \(a^{2}\) และ \(b^{2}\) เป็นคำตอบจะอยู่ในรุป \(x^{2}-(a^{2}+b^{2})x +a^{2}b^{2} =0 \)แทนค่าที่ทราบลงไปจะได้สมการที่ต้องการ \(x^{2}-\frac{25}{16}x +\frac{1}{4}=0\) คือสมการที่ต้องการ |
ขอบคุณครับคุณ R-Tummykung de Lamar รอมาทั้งคืนไม่มีใครเข้ามาเลย เฝ้าเวปอยู่คนเดียว
|
ให้ a และ b เป็นรากของ 4x2+3x-2
จะได้ a+b = -3/4 และ ab = -1/2 นั่นคือ a^{2}+ิิb^{2} = -7/16 และ a2b2=1/4 ดังนั้นสมการที่ต้องการคือ 16x2+7x+4=0 |
เฉลยข้อ 6
ขออภัยอย่างยิ่ง ผิดครับ |
ข้อ 6 จัดรูปแล้วจะได้สมการกำลังสี่
\[ x^{4} - 2ax^{2} - x + (a^{2} - a) = 0 \] \[ (x^{2} - x - a)(x^{2} + x + (1 -a )) = 0 \] ที่เหลือน่าจะได้คำตอบแล้วครับ |
ข้อ 6 นี่มี Trick นิดหน่อยตรงนี้ครับ. ถ้าไม่อยากเล่นถึงสมการกำลังสี่ คือพอได้ว่า
\[ (a + x) - x^2 = \sqrt{a+x} + x\] แต่ \(\sqrt{a+x} + x \not= 0\) แน่ ๆ เพราะ \(\, a \geq 1\) และ \(\, x \geq 0\) จึงนำมาหารตลอดได้เป็น \[\sqrt{a+x} - x = 1\] พอจัดรูปก็จะได้สมการ \(\, x^2 + x + (1-a) = 0\) ในที่สุด เวลาตอบก็ต้องเลือกเฉพาะค่าที่เป็นบวก |
ข้อหกนี่มีปัญหาเยอะจริงๆครับ ถ้าคิดแบบของผมจะได้คำตอบคือ
\[ \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2} \] กับ \[ \frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2} \] แต่พอคิดแบบของพี่กรน่าจะได้คำตอบเดียวนะครับ แต่ผมก็ยังหาที่ผิดไม่ได้อยู่ดี :confused: |
เนื่องจากคำตอบที่ได้ของคุณ nooonuii มาจากการแก้สมการกำลังสี่
ดังนั้นคำตอบบางอันอาจไม่ใช่คำตอบของสมการโจทย์ (ซึ่งอันนี้เป็น เรื่องธรรมดาของสมการที่ติดรูท) คำตอบอันที่เกินมาคือ \[x=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\] นั้นมาจากสมการ x2 - x - a = 0 ซึ่งมาจากสมการ ึa + x + x = 0 อันเป็น factor ที่คุณ gon เอามาหารตลอดเพราะรู้ว่าไม่มีทางเป็น ศูนย์นั่นเอง |
โอ๊ะโอ ลืมเช็คไปคำตอบนึงครับ ตอนแรกคิดว่าน่าจะได้เพราะมากกว่าศูนย์ ปรากฎว่ามากไปขอบคุณ คุณ warut มากครับที่ให้ความกระจ่าง :)
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:03 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha