NT-TMO11
 

จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $2p^2-3p-1$ เป็นกำลังสามของจำนวนเต็มบวก

ถ้ามีจำนวนเต็มยกกำลังสาม จะสามารถเขียนอยู้ในรูป $9m$ หรือ $9m+1$ หรือ $9m+8$ ได้ (m คือจำนวนเต็ม)

พิสูจน์
จำนวนเต็มถูกหารด้วย 3 จะมีเศษได้สามแบบ คือ เศษ 0, 1 หรือ 2 นั้นคือจำนวนเต็มจะเขียนได้สามแบบคือ $3k, 3k+1, 3k+2$ (k คือจำนวนเต็ม) เมื่อเอาทั้งสามแบบมายกกำลังสาม

$(3k)^3 = 9(3k^3)$
$(3k+1)^3 = 9(3k^3+3k^2+k)+1$
$(3k+2)^3 = 9(3k^3+6k^2+4k)+8 = 9(3k^3+6k^2+4k)+9-1 = 9(3k^3+6k^2+4k+1)-1$

แต่กลับกันไม่จริงนะครับ เช่น $53=9\times 5+8$

กำหนด $f(x) = 2p^2 - 3p - 1 = p(2p-3)-1$
$f(2) = 2(4) - 3(2) - 1 = 1 = 1^3$
$f(3) = 2(9) - 3(3) - 1 = 18 - 9 - 1 = 8 = 2^3$

กรณีที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p>=5$ แล้ว มันจะเขียนอยู่ในรูป $6n+1$ หรือ $6n-1$ ได้ (n คือจำนวนนับ) กล่าวคือมันถูกหารด้วย 6 แล้วได้เศษ 1 หรือ 5 (ถ้าได้เศษ 0, 2, 4 แสดงว่าหารด้วย 2 ลงตัว ถ้าได้เศษ 3 แสดงว่าหารด้วย 3 ลงตัว)

$f(6n+1)=(6n+1)(12n+2-3)-1$
$ =((3)2n+1)((3)4n-1)-1$
$ =9(2n+1/3)(4n-1/3)-1$

$f(6n-1)=(6n-1)(12n-2-3)-1$
$ =((3)2n-1)((3)4n-5)-1$
$ =9(2n-1/3)(4n-5/3)-1$