Closed form and well-defined of complex line intgral
 

Let $P, Q$ be smooth functions on a domain $D \subseteq \mathbb{C}$, Find necessary and sufficient condition for the form $P dz + Q d\bar{z}$ to be closed.

ผมลองทำดู ได้เงื่อนไขตามนี้ครับ

Let $\omega = P dz + Q d \bar{z} = P \ (dx + i dy) + Q \ (dx - idy) = (P+Q) dx + (iP-iQ) dy$. Since $P, Q$ are smooth, $\omega$ is a $C^1$ differential form. So we have $$\omega \ \ \mbox{is closed iff} \ \ \frac{ \partial (P+Q)}{\partial y} = \frac{\partial (iP - iQ)}{\partial x} \ \ \mbox{iff} \ \ P_z = -Q_{\bar{z}}$$ where $P_z = \frac{1}{2}(P_x - i P_y)$ and $Q_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(Q_x + i Q_y)$

ไม่แน่ใจว่าถูกมั้ยอ่ะครับ รบกวนช่วยดูให้หน่อย :please:

มีอีกข้อครับ
Let $C : [a,b] \rightarrow \mathbb{C}$ be a continuous path. Then $C$ is a piecewise differentiable path if there exists a partition of $[a,b]$, $a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b$ such that $$ C_j = C|_{[t_j,t_{j+1}]}.$$ Then define $$ \int_C \omega = \sum_{j=0}^{n-1} \int_{C_j} \omega.$$ Show that the integral is well-defined, that is, it is independent of partition of $[a,b].$

I expect something like, on $[t_j, t_{j+1}]$,
$$\int_{C_j} \omega = \int_{C_j} P dx + Q dy = \int_{t_{j}}^{t_{j+1}} P(x(t),y(t)) \ x'(t) dt + Q(x(t),y(t)) \ y'(t) dt \ \ (= F(t_{j+1}) - F(t_j)).$$

คือ คิดว่าถ้า ค่าของ line integral แต่ละช่วงขึ้นกับแค่ค่าที่ ต้นช่วง กับ ปลาย ช่วง และตัวฟังก์ชัน $F$ (if exists) เป็นฟังก์ชันเดียวกันหมดทุกช่วงแล้ว นิยามน่าจะ Well-defined ไม่ขึ้นกับ partition แต่ทีนี้ยังหาเหตุผลที่ว่ามี $F$ ไม่ได้ (คือ เข้าใจว่า $\omega$ is a differential one form คือ $$\omega = P\ dx + Q \ dy$$ where $P=P(x,y), Q= Q(x,y)$ are continuous complex-valued functions on $D$ ซึ่งจะมี $F$ ถ้า $ \omega $ is exact ($\omega = dF$ for some $F$), or $\omega$ is at least closed (locally exact)) แต่เหมือนไม่มีเงือนไข exact หรือ closed ของ $\omega$ เลย พอจะช่วยแนะนำวิธี หรือ แนวคิดให้หน่อยได้มั้ยครับ

ผมไม่เคยเรียนไปไกลขนาดนี้ก็เลยไม่ค่อยจะมีความรู้เท่าไหร่ครับ แต่ข้อสองนี่ถ้าใช้

Fundamental Theorem of Line integral จะได้มั้ยครับ

อืม Fundamental Theorem Of Line integral หรือครับ ผมก็ไม่ค่อยแน่ใจ แต่ถ้าอ้างอิงจากในเนื้อหาจากหนังสือ ยังไม่มี Fundamental Theorem of Line integral มาเลยครับ อาจารย์บอกว่าหนังสือเล่มที่ใช้ นิยาม Line integral แปลก เน้นไปทาง Differential Geometry ค่อนข้างหนัก ซึ่งบางทีผลบางผลจะแตกต่างจากการนิยามที่ใช้ทาง real analysis พวก arc length มาแบ่งเป็นช่วงเล็ก แล้วก็ Summation เอา คล้ายๆใน real แบบปกติ ซึ่งถ้าถามโดยลึกว่าต่างกันยังไง ทฤษฎีไหนเหมือนกัน อันนี้บอกตรงๆว่า ไม่รู้ ไม่ค่อยแน่ใจครับ อาจจะแปลกๆเหมือนเรียนมาไม่ค่อยรู้อะไรเลย แต่จริงมาก พอสูงๆหน่อย ลึกๆหน่อย เรียนให้เก็ทยากจังครับ หนังสือระดับที่พออ่านได้ก็ไม่ค่อยมี ถามใครก็ไม่ค่อยได้ T^T ... ยังไงก็ขอบคุณมากที่ช่วยครับ คงได้เท่าที่ได้ครับ