โจทย์ แข่งขัน ม.ต้น 6 ข้อ
 

1. เส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม ABC พบกันภายในที่จุด D ถ้า มุม ABC = 76 องศา

และ AB + BD = AC จงหาขนาดของมุม ACB

2. ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยมี AB = AC สร้างวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง BC ตัดด้าน AB และ AC ที่

D และ E ตามลำดับ ส่วนโค้ง DE ยาวเป็น 5/18 ของความยาวเส้นรอบวง จงหาขนาดของมุม DAE

3. ในการวิ่งแข่งขันครั้งหนึ่ง เรวดีวิ่งได้ทาง 15 เมตร ขณะที่สมศรีวิ่งได้ 10 เมตร ถ้าเรวดีต่อให้สมศรีออก

วิ่งก่อน 10 นาที แล้วอีกนานกี่นาที เรวดีจึงจะวิ่งทันสมศรีโดยที่คนทั้งสองวิ่งด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอ

4. สัมประสิทธิ์ของ $x^{88}$ จากผลคูณ (x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5)(x - 6)...(x + 88)(x + 89)(x - 90)

มีค่าเท่าใด

5. กำหนด x, y, z เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง xy + x + y = 11, yz + y + z = 14 และ zx + z + x = 19

ค่าของ xyz + x + y + z เท่ากับเท่าใด

6. กำหนด x และ y เป็นจำนวนจริงซึ่ง $x^{3} + y^{3} + (x + y)^{3} + 30xy = 2000$

ค่าของ x + y เป็นเท่าไร

รบกวนด้วยครับ ผมคิดไม่ออกครับ

$xy + x + y = 11 $
$ yz + y + z = 14 $
$zx + z + x = 19 $


$xy + x + y+1 = 12 =(x+1)(y+1)$ (1)
$ yz + y + z+1 = 15 =(y+1)(z+1)$ (2)
$zx + z + x+1 = 20 = (z+1)(x+1)$ (3)

$\frac{(1)*(2)}{(3)}$ จะได้ $(y+1)^2 = 9 $

หา x และ z ในทำนองเดียวกัน

ข้อสอบ สพฐ หรือป่าวครับ คุ้นๆ

ข้อ6 ผมคิด$x+y=10$
ลองใช้วิชามารให้$x=0$ ได้$y=10$
ถ้ามองจาก$x+y=10$ ก็คือ$x+y-10=0$
มองให้เป็น $a+b+c=0$ แล้ว $a^3+b^3+c^3-3abc=0$
$x^3+y^3-1000+30xy=0$
และจะได้อีกว่า $(x+y)^3-1000=0$
ได้ตามโจทย์ต้องการ สำหรับวิธีการแยกตัวประกอบ คงขอเวลาคิดอีกที

ref : http://www.mathcenter.net/forum/show...1&postcount=11

Attachment 6924

ส่วนโค้ง DE ยาวเป็น 5/18 ของความยาวเส้นรอบวง ---> มุม $DOE = \frac{5}{18} \times 360^\circ = 100^\circ $

AO แบ่งครึ่ง มุม DOE และแบ่งครึ่ง BC (สามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ---> มุม AOE = 50 องศา

มุม OEC = 50+a = มุม OCE (สามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ---> มุม EOC = 80 - 2a องศา

ที่จุด O $ \ \ \ $ (80-2a) +50 +50 + (80-2a) = 180

2a = 40 องศา = มุม DAE

ทุกๆหนึ่งหน่วยเวลา เรวดีวิ่งได้ระยะทางมากกว่าสมศรี 5 เมตร

สมมุติ 1 นาที เรวดีวิ่งได้ทาง 15 เมตร ขณะที่สมศรีวิ่งได้ 10 เมตร (สงสัยคลานไป :haha:)

สมศรีวิ่ง 10 นาที ได้ระยะทาง 10x10 = 100 เมตร (สมศรีอยู่หน้าเรวดี 100 เมตร)

5 เมตร เรวดีใช้เวลา 1 นาที จึงทัน

100 เมตร เรวดีใช้เวลา 20 นาที จึงทัน

ตอบ 20 นาที

ไม่ค่อยเเข้าใจโจทย์

$(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5)(x - 6)...(x + 88)(x + 89)(x - 90) = x^{90} - 90!$

สัมประสิทธิ์ของ $x^{88} = 0 $

ผมงงว่าทำไม
$(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5)(x - 6)...(x + 88)(x + 89)(x - 90) = x^{90} - 90!$
อ่าคับ :confused:

555 สมองมึนจากข้อเรขา :haha:

แก้ไขแล้วครับ ขออภัย :please:

เฉลยโจทย์หาสัมประสิทธิ์
 

(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5)(x - 6)...(x - 90) แล้ว สัมประสิทธิ์หน้า $ x^{88}$ เท่ากับเท่าใด

สัมประสิทธิ์หน้า $ x^{88}$ คือ ผลบวกของผลคูณทีละสองตัวของรากทั้งหมด

= $[[-[(-1) + (-2) + 3 +...+ 90]]^{2} - [(-1)^{2} + (-2)^{2} +...+ 90^{2}]]/2$

= 727,980

ขอบคุณมากครับ สำหรับเฉลยข้อ 4.

(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5)(x - 6)...(x - 90) แล้ว สัมประสิทธิ์หน้า $x^{88}$ เท่ากับเท่าใด

สัมประสิทธิ์หน้า $ x^{88}$ คือ ผลบวกของผลคูณทีละสองตัวของรากทั้งหมด

= $[[-[(-1) + (-2) + 3 +...+ 90]]^{2} -[(-1)^{2} + (-2)^{2} +...+ 90^{2}]]/2$

= 727,980

งงครับ:cry::cry::cry::cry::cry::cry::cry::cry::cry::cry::cry::cry::cry:

ข้อ6....ผมแปลงได้เท่านี้ครับ
$x^{3} + y^{3} + (x + y)^{3} + 30xy = 2000$
$(x+y-10)(2x^2+2y^2+xy+20x+20y+200)=0$
แอบใช้wolframalpha เช็คค่าต่ำสุดแล้วพบว่า $2x^2+2y^2+xy+20x+20y+200$ มีค่าต่ำสุดเท่ากับ $120$ ที่$(-4,-4)$
ดังนั้นจึงได้ว่า $x+y=10$

ผมว่าไม่จริงนะครับ