NT Problems#2
 

1. ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า $n(n+1)| 2(1^k+2^k+...+n^k)$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวกคี่ $k$

2. ให้ $p \nmid n$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่ง $p\leq \sqrt[3]{n}$ จงแสดงว่าจำนวนเต็มบวก $n > 1$ จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวน

ข้อแรก ลองดูอย่างนี้ครับ เพราะ$k$เป็จจำนวนคี่
$2(1^k+2^k+...+n^k) = (n^k +1^k)+((n-1)^k+2^k) + ..... = (n+1)(....)$
$ = 2n^k+((n-1)^k+1^k)+((n-2)^k+2^k)+..=n(...)$

ขอบคุณครับ ตื่นตี 4 (หรือยังไม่หลับตอนนั้น :aah: ) มาตอบคำถาม :please: ขอบคุณครับ :sung:

ข้อ 2 ให้พิจารณา min{ตัวประกอบเฉพาะของ p}
น่าจะช่วยได้
พิสูจน์ขัดแย้งน่ะครับ

ลองเริ่ม ๆ มาดูก่อนได้ไหมครับ :eek:

ตัวประกอบเฉพาะ $p$ แต่ละตัวของ $n$ จะมีสมมบัติว่า $p>\sqrt[3]{n}$

ถ้ามีตัวประกอบแบบนี้สามตัวขึ้นไป(ซ้ำด้วยก็ได้) จะเกิดอะไรขึ้นครับ

ลองหาดูในหนังสือ 104 Number theory ของ Titu Andresscu ดูนะครับ