สับสนกับค่าต่ำสุดอ่ะครับ
 

x^4+2x^3+2x^2+x+2 ค่าต่ำสุดมันคือ7/4 หรือว่า29/16อ่ะครับ??????:sweat::sweat::sweat::sweat:

ค่าต่ำสุดเท่ากับ $\frac{29}{16} $ เมื่อแทนค่า $x=-\frac{1}{2}$ ครับ

x^4+2x^3+2x^2+x+2
=x^2(x+1)^2+x(x+1)+2
=(x(x+1)+1/2)^2 + 7/4
=(x^2+x+1/4) +1/4)^2 +7/4
=((x+1/2)^2 +1/4 )^2 +7/4
=ค่าต่ำสุดก็ต่อเมื่อx+1/2 =0
\therefore ค่าต่ำสุด= (1/4)^2 + 7/4 = 29/16

ช่วยเขียนให้ดูง่ายขึ้น

$x^4+2x^3+2x^2+x+2$

$=x^2(x+1)^2+x(x+1)+2$

$=(x(x+1)+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$=(x^2+x+\frac{1}{4}) +\frac{1}{4})^2 +\frac{7}{4}$

$=((x+\frac{1}{2})^2 +\frac{1}{4} )^2 +\frac{7}{4} $

ค่าต่ำสุดก็ต่อเมื่อ $x+\frac{1}{2} =0$

$\therefore $ ค่าต่ำสุด $= (\frac{1}{4} )^2 + \frac{7}{4}= \frac{29}{16} $

คุ้นๆว่าเป็นข้อสอบแข่งเมื่อปีสองปีนี้ จำไม่ได้ว่าเมื่อไหร่

แล้วถ้ามันบอกว่า x เป็นสมาชิกของจำนวนเชิงซ้อนอ่ะครับ

#5 ถ้าเป็นงั้นต่ำสุดก็ 7/4 ครับ

จะหาค่าต่ำสุดไม่ได้ครับ เพราะจำนวนเชิงซ้อนไม่มีการเรียงค่าจึงไม่สามารถบอกได้ว่าอะไรมากกว่าอะไร

แล้วตรงนี้อ่ะครับ

$\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right)^2 $ เราจะสรุปว่า กำลังสองจะมีค่าน้อยที่สุดคือ $0$ ได้เมื่อมีค่า $x$ ที่ทำให้ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right) $ เท่ากับศูนย์ สมการนี้มีค่า $x$ ที่ทำให้เกิดสมการเป็นศูนย์หรือไม่ ก็พิจารณาจากค่าDiscriminant
$b^2-4ac=1-4(1)(\frac{1}{2}) =1-2=-1$
ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้สมการ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right) $ เท่ากับศูนย์ ดังนั้นในวิธีทำ จึงต่อแปลงต่อครับ

ย้อนกลับขึ้นไปดู น่าจะต้องการถามว่าถ้ามีจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right) $ เป็นศูนย์ได้ และค่าของฟังก์ชั่นที่ได้เป็นจำนวนจริง จะบอกว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดได้หรือไม่

$x^2+x+\frac{1}{2}=0 \rightarrow x^2+x=-\frac{1}{2} $
$x^4+2x^3+2x^2+x+2=x^2(x^2+x)+x(x^2+x)+x^2+x+2$
$=-\frac{1}{2}\left(\,x^2+x\right)+\left(\,-\frac{1}{2}\right)+2 $
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2 $
$=\frac{3}{2} $

ไหนคิดแล้วได้ไม่ตรงกับที่ดูจากตอนทำ ที่คิดว่าน่าจะเป็น $\frac{7}{4} $
แต่ถ้าดันมีค่า $x$ ที่ทำให้ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right)^2 $ เป็นค่าลบได้ในกรณีที่ $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน คงจะหาค่า $x$ ได้เป็นอนันต์ คือทุกค่าลบที่เราต้องการของ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right)^2 $ เราจะมีค่า $x$ ที่สอดคล้องไปเรื่อยๆ จึงไม่มีค่าต่ำสุดมั้งครับ

ถ้า $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ คิดว่าฟังก์ชันนี้จะให้ค่าเป็นจำนวนจริงอย่างเดียวรึเปล่าครับ

เช่น $x=i$ จะได้ $x^4+2x^3+2x^2+x+2=1-i$

แล้วเราจะกล่าวว่า $1-i\geq \dfrac{7}{4}$ ได้ยังไงครับ :confused:

เห็นด้วยกับคุณNoooNuiครับ เท่าที่ผมรู้ เราเปรียบเทียบระหว่างจำนวนจริงกับจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้อยู่แล้ว

สรุปคือยังไงอ่ะครับ

ถ้ามีเกินจำนวนจริงมาเกี่ยวก็ไม่มีค่าต่ำสุดครับ