ช่วยพิสูจนืหน่อยครับ เรื่องการหารลงตัวนะ
 

ช่วยพิสูจนืหน่อยครับ เรื่องการหารลงตัวนะ

1.6หารa(a+1)(2a+1)ลงตัว

2.ถ้า 2หารaไม่ลงตัวและ3หารaไม่ลงตัว แล้ว 24หารa^2+23ลงตัว

คิดไม่ออกแล้ว

ช่วนหน่อยนะครับ

ข้อสอง ถ้าเราเปลี่ยนมาพิจารณา $a^{2}+23 -(24)$ แทน จะช่วยได้รึปล่าวครับ

ให้ P(k) แทนข้อความ 6หารa(a+1)(2a+1)ลงตัว
1. การแสดงว่า P(1) เป็นจริง
จาก $1(1+1)(2(1)+1)=6$
และ $6|6$ ดังนั้น P(1) เป็นจริง

2. การแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริง
เมื่อ P(k) เป็นจริง ได้ $6|a(a+1)(a+2)$
จาก $(a+1)((a+1)+1)(2(a+1)+1) = (a+1)(a+2)(2a+3)$
$=2a^3+9a^2+13a+6$
$=2a^3+3a^2+a+6a^2+12a+6$
$=a(a+1)(2a+1)+6(a+1)^2$
ทำให้ $6|P(k+1)$ ดังนั้น P(k+1) เป็นจริง

โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ P(k) เป็นจริงเสมอ
ดังนั้น $6|n(n+1)(2n+1)$
จบการพิสูจน์

ขอเพิ่มเติมข้อสองอีกนิดนึงนะครับ
จาก $ a^{2} + 23 $ เรามา พิจารณา $ a^{2 } + 23 -24 = a^{2} - 1$ เมื่อ $ a > 0$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนนับ จะได้ว่า
$ a^{2} - 1 = (a-1 )(a+1)$ เนื่องจาก $2$ หาร $a$ ไม่ลงตัว ดังนั้น สามารถเขียน $a$ ได้ในรูป
$ a = 2x + 1 $ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ
$ a^{2} - 1 = (2x +1 -1)(2x +1 +1 ) = (2x)(2x+2)$
เราจะแสดงว่า $24$ หาร ลงตัว โดยแสดงว่า $6$ และ $4$ หาร $(2x)(2x+2)$ลงตัว
และ ถ้า $6$ หารลงตัว แสดงว่า $2$ และ $3$ จะต้องหารลงตัวด้วย
จะแสดงว่า $3$ หารลงตัว โดยพิจารณา การเรียงต่อกันของจำนวนเต็ม 3 จำนวนคือ $a-1 ,a , a+1$ โดยที่ $3$ หาร$ a$ ไม่ลงตัว แล้ว พิจารณาว่า $3$ หาร $(a-1)(a+1)$ ลงตัว
จากทั้งหมด imply
$24 | a^{2} +23$