เรขาคณิต หรือตรีโกณมิติ
 

Attachment 5573

จากรูป MN เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ขนาดของมุม $M\widehat{C} A=40^o , C\widehat{A} P=10^o , C\widehat{B} P=10^o$ จงหาขนาดของมุม $ฺB\widehat{C} P$

(ผมใช้โปรแกรม sketchpad วัดมุมได้ $20^o$ ครับ แต่วิธีคำนวนยังคิดไม่ออก)

ขอ Hint หน่อยครับ ใช้ความรู้เรขาคณิต หรือตรีโกณมิติก็ได้ครับ

ขอบคุณครับ

ทำได้หลายวิธีครับ แบบ concyclic หรือใช้สามเหลี่ยมคล้ายก็ได้ครับ

ท่านซือแป๋ครับ ตอนนี้แถวบ้านผมมีพายุ ฝนฟ้าคะนอง ไฟฟ้าดับ มองอะไรไม่ค่อยเห็นเลยครับ ขอคิดต่อก่อนสักวัน ถ้าไม่ออก ต้องขอ Hint 2 หละครับ

สามเหลี่ยมคล้ายที่เห็นในรูป ก็ไม่ช่วยผมเลย ลากเส้นจนมั่วเข้าป่าเข้าดงไปแล้วครับ ส่วน concyclic ผมก็เพิ่งได้ยินจากท่านซือแป๋ นี่หละครับ search ดูจาก internet ก็ยังไม่รู้จะใช้ยังไง:confused:

#3
ลากเส้น AB จากนั้นพิจารณาสี่เหลี่ยม ABPC ที่เหลือก็ตามคุณหยินหยางครับ

#3 หลักของ concyclic ก็คือมีวงกลมล้อมรอบได้ ข้อนี้ใช้วิธีนี้น่าจะง่ายสุด ซึ่งท่าน nongtum ได้แนะนำเพิ่มไปแล้ว ว่า สี่เหลี่ยม ABPC เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ ส่วนถ้าจะใช้วิธีสามเหลี่ยมคล้าย ต้องลากเส้น AN ช่วยครับ

คิดออกแล้วครับ ขอบคุณท่านซือแป๋ และคุณ nongtum มากครับ ข้อนี้เล่นเอาผมเหนื่อยหลายวันเลยครับ

Attachment 5589

1) จากรูป $C\widehat{A}P= C\widehat{B}P$ จะได้ว่า A, B P ,C เป็น concyclic point ดังน้นสามารถสร้างวงกลมผ่านจุด A, B P ,C ได้

2) ลากส่วนของเส้นตรง AB จะได้ ABPC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมที่สร้างขึ้นมาใหม่

3) จากมุมภายนอก $A\widehat{C}M = 40^o$ จะได้ $A\widehat{ฺฺB}C = 30^o$

4) $\because CA=CB ,\therefore ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ลากส่วยของเส้นตรง $CD$ ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง $AB$ ที่จุด $D$ จะได้ $B\widehat{C}D = A\widehat{C}D= 60^o$ ดังนั้น $B\widehat{P}C= 20^o$


lส่วนวิธี สามเหลี่ยมคล้าย ผมยังไม่ได้คิดเลยครับ (ช่วงนี้มีเวลาคิดแต่ละวันน้อยมากครับ) ต้องขอขอบคุณอีกครั้งหนึ่งครับ:please:

#6 มานำเสนอแนวคิดเพิ่มให้ครับ หลังจากที่เรารู้ว่า $A\widehat{B}C= 30^o$ และ AC = BC ทำให้รู้ว่า $P\widehat{A}C= 20^o$ ดังนั้น $P\widehat{C}B= 20^o$ ด้วยเพราะเป็นมุมที่เส้นรอบวงที่อยู่บนคอร์ด PB เดียวกัน

ขอบคุณท่านซือแป๋อีกครั้งครับ ที่ช่วยแนะนำวิธีคิด อีกวิธีหนึ่งให้ ผมไม่ได้มองเลยครับ

เรื่องเรขา ผมเคยเป็นบ่อย เวลามึน ๆ มันจะมองอะไรไม่เห็นเลย แม้เป็นรื่องง่าย ๆ :)

ป.ล. ท่านซือแป๋ พิมพ์ผิดหน่อยหนึ่งครับ

ต้องเป็น $P\widehat{A}B$ ครับ

#8
ขอบคุณครับ ไม่ได้พิมพ์ผิดหน่อยหนึ่ง แต่พิมพ์ผิดไปหลายตัวอักษรเลยหละครับ 555+

#6 ตรง ACM = 40 องศาแล้วได้ ABC = 30 องศาได้งัยอ่าครับ
ประมาณว่า ACM เกี่ยวกับ ABC หรือไม่ (เท่าที่ดูก็ไม่เกี่ยวนะ น่าจะเป็น APC มากกว่าที่เกี่ยว)

ACM เป็นมุมภายนอกของสี่เหลี่ยม ABCP (ที่ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมอีกวง)

มุมACM = มุมABP = 10 +30

ผมมองไม่ออกว่ามาจากไหน?!:please:

เพราะเป็นรัศมี
เข้าใจแล้วครับ!

เนืองจากมันทำมุม 10º เท่ากันที่เส้นรอบวง
แสดงว่าจุดทั้ง 4 อยู่บนวงกลมเดียวกันอีกวงหนึ่ง ถ้้าให้มุมที่ต้องการหาเป็น x
ถ้าลากเส้นเชื่อมต่อจุดที่แสดงมุม 10ºทั้งสอง จะได้เป็นฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีมุมที่ฐาน = x+10º
จะได้มุมที่จุดยอดที่จุดศูนย์กลาง = 180º -2(x+10º)
มุมรวมที่จุดศูนย์กลาง =40º +(180º -2(x+10º)) + x=180º ดังนั้น x=20º

$APC = ACM$ ครับ มุมในส่วนโค้งเดียวกัน :great: