ช่วยผมด้วยครับ
ถ้า$ \ \ p \ \ $เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p>2$ จงพิสูจน์ว่า
$$1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot \cdot \cdot (p-2)^2\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} (mod \ \ p)$$ |
ลองไปดูวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสันครับ
|
ขอบคุณครับ
ผมขออีกสักข้อนะครับ Prove that, for any prime p, it is possible to find integers x and y such that $x^2+y^2+1$ is divisible by p. |
กรณีที่ $p=2$ เราก็เลือก $x=0,y=1$
ต่อไป ถ้า $p$ เป็นจำนวนคี่ พิจารณาเซต $\displaystyle A=\left\{0^2,1^2,\cdots,\left(\frac{p-1}{2}\right)^2\right\}$ $\displaystyle B=\left\{-0^2-1,-1^2-1,\cdots,-\left(\frac{p-1}{2}\right)^2-1\right\}$ จะได้ว่า $|A|+|B|=p+1$ แต่ว่าจากที่ C.R.S. mod p มีสมาชิก $p$ ตัว ดังนั้นจะได้ว่า ใน $A$ และ $B$ รวมกัน จะมีสมาชิก 2 ตัวที่คอนกรูเอนท์กัน mod p (ก็คือว่า มีเศษได้ p แบบ แต่มีตัวเลขรวมกัน p+1 ตัว จากหลักรังนกพิราบ ก็ต้องได้ว่ามีตัวเลขอย่างน้อย 2 ตัว ที่มีเศษเหมือนกัน) แต่สังเกตว่าสมาชิกใน $A$ ด้วยกันเอง จะไม่คอนกรูเอนท์กัน mod p และในทำนองเดียวกัน สมาชิกใน $B$ ด้วยกันเอง จะไม่คอนกรูเอนท์กัน mod p ดังนั้น มี $\displaystyle x,y\in\left\{0,1,\cdots,\frac{p-1}{2}\right\}$ ซึ่ง $x^2\equiv -y^2-1\pmod{p}$ นั่นคือ $x^2+y^2+1\equiv0\pmod{p}$ ตามต้องการ |
อ๋อ ขอบคุณมากๆเลยครับ ไว้วันหลังจาถามอีก ^^
|
แล้วข้อนี้ทำอย่างไรหรอครับ
Prove that $$3^{7^n}\equiv 2^{7^{n}}+1 \ \ (mod 7^{n+2})$$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
จาก wilson's theorem $(p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ $1\cdot 3\cdot 5\cdots (p-2)\cdot 2\cdot 4\cdots (p-1)\equiv -1\pmod{p}$ ลองดูครับว่าจะเขียน $2$ ให้อยู่ในรูป $(-1)$ คูณกับตัวใดตัวหนึ่งในก้อนข้างหน้าได้ยังไง ใกล้จบแล้วล่ะ ป.ล. เวลาเขียน $\pmod{p}$ เรามีคำสั่งเฉพาะครับ ลองใช้คำสั่ง \pmod{p} |
ขอเฉลยได้ไหมครับผมเองดูแล้วก็คิดไม่ออกครับ
|
มีโจทย์มขอให้ช่วยอีกสองข้อครับ ช่วยหน่อย
1.ให้ $m,n\in \mathbb{N} $ จงพิสูจน์ว่าระบบคอนกรูเอนซ์ $x\equiv a \pmod{n}$ $x\equiv b \pmod{m}$ จะมีคำตอบ ก็ต่อเมื่อ $(n,m)\mid (a-b)$ ข้อนี้ขาไปทำได้แล้วครับ ช่วยขอกลับทีๆ 2. จงพิสูจน์ว่า $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ เป็นจำนวนประกอบ ข้อนี้เหมือนหมู แต่เอาเข้าจริงสำหรับผมกลายเป็นหมูหินผสมซีเมน ซะงั้น ช่วยแนะหน่อยครับ จะเข้าค่ายแล้วยังไม่ค่อยพร้อมเลย :sweat: |
1. ให้ $y_0,z_0$ สอดคล้องสมการ $mz_0-ny_0=a-b$
ลองหาเหตุผลดูว่าทำไมถึงเลือก $y_0,z_0$ ได้ ให้ $x=a+ny_0$ จบแล้วล่ะ :) |
#11
$N=5^{100}+5^{75}+5^{50}+5^{25}+1$ ไม่ใช่หรือครับ #12 THX ครับ |
#13 จริงด้วย คิดผิดเหอๆๆๆ เดี๋ยวลองใหม่แปปครับ เหอๆ
|
อ้างอิง:
Hint : $ x^4+x^3 +x^2+x+1 = (x^2+3x+1)^2 -5x(x+1)^2$ |
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:04 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha