โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ สวัสดีปีใหม่ 2548 ครับ
 

ขอสวัสดีปีใหม่กับสมาชิกทุกท่านด้วยปัญหาคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ครับ :)

1. ให้ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะในช่วงเปิด $(0,1)$ จงแสดงว่า รากที่ $2548$ ของ $1 - a^{2548}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

2. จงหาจำนวนคำตอบทั้งหมดของปัญหาหนอนแทะต่อไปนี้

FOUR + FIVE = NINE

เมื่ออักษรแต่ละตัวแทนเลขโดดที่แตกต่างกัน

3. จงหาจำนวนจริงทั้งหมดซึ่งสอดคล้องอสมการ $[x]^2\leq x$ เมื่อ $[x]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$

4. จงหาจำนวนเต็ม $x,y$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $3^x+ 1 = 13y$

5. ให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนจริงซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนจำกัด โดยมีคุณสมบัติว่า ถ้า $a,b\in S$ แล้ว $ab\in S$ ด้วย จงหาเซต $S$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

6. จงพิสูจน์ว่า $(1 + 2 + ... + 2547)(1 + 1/2 + ... + 1/2547) > 2548^2$

เฉลย ข้อ 1
ใช้ Fermat Last Theorem สมมติว่า 1-a^2548=b^2548 (b เป็นจำนวนตรรกยะ)
หรือ 1=a^2548+b^2548
โดยการคูณด้วยส่วนของ a^2548 และ b^2548 จะได้สมการ c^2548=x^2548+y^2548
(x,y,c เป็นจำนวนเต็ม)
ดังนั้นโดย FLT x=y=c=0 นั่นคือ a=0 ขัดแย้งกับ 0<a<1

สวัสดีปีใหม่ ๒๕๔๘ หวังว่าปีนี้ทุกคนจะได้พัฒนาตนเองในทุกๆด้านนะครับ :)

เฉลยข้อ 4
คิด mod 13 จะเห็นว่าไม่มี solution

ว่าจะหลับยาวแต่ดันตื่น ในตลาดกำลังฉลองกันหลายร้านเลย ชวนผมดื่มเบียร์ด้วย 555 ขอบายล่ะครับ. ของมึนเมาเราไม่แตะ

สวัสดีปีใหม่ ชาว mathcenter ทุกคนเช่นกันครับ. :D ยู้ฮู ..... หวังว่าปีนี้ผมและสมาชิกทุกท่านจะขยันและมีความสนุกกับสิ่งที่ตัวเองทำกว่าปีที่แล้ว ...

โอ๊ะโอ ผ่านไปแป๊บเดียว คุณ aaaa คิดออกไปสองข้อแล้วครับ เก่งจริงๆ
งั้นผมคงต้องคิดโจทย์เพิ่มแล้วสิครับเนี่ย สวัสดีปีใหม่อีกครั้งครับ ปีเก่ากำลังจะผ่านไปในไม่กี่นาทีข้างหน้านี้แล้วครับ :)

สวัสดีปีใหม่คร้าบบบบ :D :D :p :p :) :) ;) ;)

เฉลยข้อ 6
กรณีทั่วไป (1+2+...+n)(1+1/2+...1/n)>(n+1)^2 เมื่อ n>6
อสมการสมมูลกับ 1+1/2+...+1/n>2(1+1/n) เนื่องจากเมื่อ n>6, 1+1/2+...+1/n>2.5 แต่ 2(1+1/n)<2.5

ขอสักข้อล่ะกันครับ.

ข้อ 6 จะแสดงว่า
\((1+2+3+...+n)(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}) > (n+1)^2 , ทุก\, n \geq 6\)

เนื่องจาก \(L.H.S. = (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})(\frac{n^2+n}{2}) + (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n})(\frac{n^2+n}{2})\)
\( = \frac{25}{12}(\frac{n^2+n}{2}) + (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n})(\frac{n^2+n}{2})\)
\( > 2(\frac{n^2+n}{2}) + (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n})(\frac{n^2+n}{2})\)
\( > n^2 + n + (\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n})(\frac{n^2+n}{2}) จำนวน \, n - 4 พจน์\)
\( = n^2 + n + \frac{(n-4)(n+1)}{2}\)
\( = \frac{3n^2-n-4}{2} \geq n^2 + 2n + 1\)
\( \Leftrightarrow 3n^2 - n - 4 \geq 2n^2 + 4n + 2\)
\( \Leftrightarrow n^2 - 5n - 6 \geq 0\)
\( \Leftrightarrow (n-6)(n+1) \geq 0\)
\( \Leftrightarrow n \geq 6\)

อ้าว. คุณ aaaa : จัดการ solve ไปแล้วนี่ เหอ ๆ :p

โอ้. เหนื่อยจริง ๆ สำหรับโจทย์ข้อ 2 ถ้านับเลขไม่ผิดจะมี 72 ชุด คือ

ในทุกกรณี O = 9, R = 0

กรณีที่ 1 : N = 3
กรณีที่ 1.1 : (U, V) = (5, 8) หรือ (8, 5) ในแต่ละแบบ
จะมี (I, E) ได้ 12 ชุด คือ (I, E) ฮ {2, 4, 6, 7}
กรณีที่ 1.2 : (U, V) = (6, 7) หรือ (7, 6) ในแต่ละแบบ
จะมี (I, E) ได้ 12 ชุด คือ (I, E) ฮ {2, 4, 5, 8}

กรณีที่ 2 : N = 5
จะได้ว่า (U, V) = (7, 8) หรือ (8, 7) ในแต่ละแบบ
จะมี (I, E) ได้ 12 ชุด คือ (I, E) ฮ {1, 3, 4, 6}

\ จะมีชุดคำตอบทั้งหมด 24 + 24 + 24 = 72 ชุด

หวังว่าคงไม่ลืมอะไรตกหล่น :)

สวัสดีปีใหม่ด้วยคนคร้าบ ขอให้อะไรที่ดีๆบังเกิดขึ้นกับทุกๆคนนะครับ :)

ไหนๆก็มาที่หัวข้อนี้แล้วก็คงต้องทำโจทย์ของคุณ nooonuii สักข้อ เอาเป็นข้อ 5 ละกัน

ถ้า a ฮ S เราจะได้ว่า a, a², a³, ... จะต้องเป็นสมาชิกของ S ด้วย
แต่ S เป็นเซ็ตจำกัด แสดงว่าค่าของ a, a², a³, ... จะต้องเป็น periodic ในที่สุด
ดังนั้นค่าของ a ที่เป็นไปได้คือ -1, 0, 1
สรุปว่าเซ็ตคำตอบของโจทย์ข้อนี้คือ {{0}, {1}, {0, 1}, {-1, 1}, {-1, 0, 1}}
ถ้านับเซ็ตว่างด้วยก็เพิ่ม ฦ เข้าไปอีกอันนะครับ

หายไปทานข้าวเที่ยงแป๊บเดียว โจทย์ผมขายเกือบหมดแล้วอ่ะ เหลือข้อสามข้อเดียว ซึ่งก็ไม่ยากครับ เดี๋ยวค่อยมาต่อข้อต่อไปให้นะครับ

เอ...ข้อหก ของพี่กร มันแปลกๆนะครับ ดูเหมือนจะมี error นิดหน่อยครับ

ข้อ 3 [-1,2) รึปล่าวครับ

HAPPY NEW YEAR

คำตอบข้อ 3 ของน้อง Tony ยังไม่ถูกนะครับ เพราะ -1 ไม่ใช่คำตอบแน่นอนครับ แต่ใกล้แล้วครับ