n มีค่ามากที่สุดเท่าไร ขอแนวคิดด้วยครับ ???
 

ถ้า $3^{256}-1$ หารด้วย $2^n$ ลงตัว แล้ว n มีค่ามากที่สุดเท่าไร

ลองแยกตัวประกอบของ $3^{256}-1$ ดูดิครับ

$3^{256} - 1 $

$= [3^{178} - 1 ][ 3^{178} + 1 ]$

$= [3^{177} + 2][ 3^{177} + 4 ]$

$= [ 3^{177} ][ 2 +4]$

$= [ 3^{177} ][ 6 ]$

$= [ 3^{178} ] [ 2 ] $

$\therefore 2^{n} ที่หาร 3^{256} ลงตัว คือ 2^{1}$

ตรวจสอบด้วยค่ะ พลาดตรงไหนหรือเปล่า? รู้สึกคำตอบมันแปลกๆแน่ะ

ได้ $n=10$ ไม่ใช่เหรอครับ
$\frac{3^{256}-1}{2^{10}}=$
$1357504417745554030907615105367786163224793464927042363199265
86357457102177506285098634540189560
165548644204629442284605$ ครับ :great:

ผิดตั้งแต่บรรทัดแรกเลยครับถ้าต้องการแยกตัวประกอบแบบผลต่างกำลังสองบรรทัดแรกจะได้ว่า $(3^{128}-1)(3^{128}+1)$
ข้อนี้คำตอบ $n=10$ แนวคิดคือ ใช้การแยกตัวประกอบ หรือใช้ทวินามก็ได้

ใช่เรยเคิ้บบบ จิงๆมันยังมีต่อ ว่าแต่ ใช้โปรแกรมอะไรเคิ้บเนี่ย

อ่อๆ แบบนี้ป่ะเคิ้บบๆๆๆ
$(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)(3^{64}+1)(3^{128}+1)$
2x4x10x82xคูณไปเรื่อยๆแล้วแต่ละวงเลบจะมี 2 เป็นตัวประกอบเพียงตัวเดียวยกเว้นวงเล็บที่สอง
จึงได้เป็น $2^{10}$ 10=n มากที่สุดงี้ป่ะเคิ้บบบบ :happy:

ใช่เลยครับเพราะว่า 4 หาร $3^{2k}+1$ ไม่ลงแต่หารด้วย 2 ลงตัวครับ :great:

ขอบคุณ พี่ๆทุกท่านที่ชี้แนะครับ

ทำไม 4 หาร $3^{2k}+1$ ไม่ลงครับ

คำตอบเท่าไรช่างมันเถอะครับ :mad: คิดยังงัยสำคัญกว่า

ใช้ทวินามยังงัยครับ :please:

อ๋อ ที่ได้n=10เนี่ย จับตัวประกอบ คือ สอง ของแต่ล่ะวงเล็บมาบวกกันใช่ม่ะครับ

เอ่อแล้วตรงที่เราระบายแดงไว้อ่ะ อยากทราบว่ารู้ได้อย่างไรว่ามี 2 เป็นตัวประกอบเพียงตัวเดียวอ่ะ:confused:

จริงๆ ไม่อยากให้ใช้วิธีนี้เท่าไรเลยครับเพราะรู้สึกว่าจะยุ่งยากกว่าการแยกตัวประกอบ เพียงแต่ผมคิดเล่นๆ ดู ลองคิดหลายๆแบบดูเท่านั้นครับ เพราะโดยทั่วไปเป็นที่รู้กันว่า
$3^{2^m}-1$ จะหารด้วย $2^n$ โดยค่า $n$ ที่มากสุดจะเท่ากับ $m+2$
วิธีทวินามต้องใช้การสังเกตด้วยครับ อธิบายโดยการเขียนค่อนข้่างยากครับ แต่ผมสังเกตพบว่า $ n \geqslant 9$ เพราะทุกพจน์นั้นหารด้วย $2^9$ลงตัว แต่ 2 พจน์หลังเมื่อรวมกันแล้วหารด้วย $2^{17}$ ลงตัว ดังนั้น $n\not= 9$ แน่ ต่อไปพิจารณา $n =10$ ก็พบว่า $\binom{256}{252}2^4$ สามารถเอา $2^{10}$ หารลงตัวและไม่สามารถรวมกับพจน์อื่นได้ ข้างล่างเป็นแนวทางในการคำนวณครับ
$(2+1)^{256}-1 =2^{256}+...+\binom{256}{252}2^4+...+ \binom{256}{254}2^2+ \binom{256}{255}2+ 1 -1$
พิจารณาเฉพาะ 2 พจน์หลังที่ไม่ใช่ 1 เพราะก่อนหน้านั้นจะมีตัวหารด้วย $2^n$ ที่ค่าของ $n$ จะมากกว่านี้
$\binom{256}{254}2^2+ \binom{256}{255}2 = \frac{256\times 255}{2}\times 4+256\times 2=2^{17}$
ขออภัยด้วยครับถ้าไม่สามารถทำให้กระจ่าง

เพราะว่า $3^{2k}+1=(4-1)^{2k}+1= (4^{2k}-m_14^{2k-1}+...+1)+1=4m+1+1 = 4m+2$
หาร 4 ไม่ลงแต่หาร 2 ลงครับ

อันนี้นะเคิ้บบก้อเหมือนกับที่คุณ Anonymous314 บอกไว้ข้างบนนะเคิ้บ ส่วนว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า $\frac{3^{2k}+1}{4}$ ไม่ลงตัว
ก้อคงจะยากนะเคิ้บบ ถ้าตั้งสมการมาพิสูจน์ ผมเลยเขียนกราฟมาไห้ดูเรย

จากนี้จะเห็นว่าค่า k ที่เป็นจำนวนบวก แล้ว หาร 4ลงตัว บางคนอาจจะถามว่าแล้ว ที่ y= 16 หล่ะ คืองี้ครับ ตรงนั้น ค่า k มันหารสองไม่ลงตัว แล้วในโจดก้อมีแต่ค่า k ที่เป็นจำนวนเต็บบวกซะด้วย ส่วน ตัวอื่นๆที่หาร 4 ลงตัวก้อมีค่า k ที่หาร 2 ไม่ลงตัวเหมือนกันเคิ้บบบบบบ