ข้อสอบคณิต สพฐ. ม.ต้น คัดเลือกผู้แทน 2552
 

เพิ่งไปสอบมาวันนี้แหละครับ สำหรับผมยากมากๆๆเลย
ขออภัยสำหรับไฟล์ พอดีสแกนมาแล้วมันได้ไฟล์ใหญ่มากก็เลยซิปแล้วอัพขึ้นเว็บฝากไฟล์ให้น่ะครับ
ลิงค์
http://www.tempf.com/getfile.php?fil...pplication/rar

ถ้าหากลิงค์มันเสียหรือยังไงก็บอกให้เปลี่ยนเว็บก็ได้นะครับ (ช่วยแนะนำเวบด้วย)

อาริกาโตะ จากใจเลยครับ ขอบคุณจริงๆ

ขอโทษด้วยคับผมมองไม่เห็น
นับถือมากคับ

#3
ผมโหลดได้ไม่มีปัญหาครับ ขอบคุณครับ

ยังไง ขอเวลาสักชั่วโมง เดี๋ยวจะอัพเป็นรูปบนเวบบอร์ดให้นะครับ

มีครับ

ขอบคุณมากๆคับมองไม่เห็นพอดีผมเซ่อไปหน่อยขอโทษด้วยคับที่ทำให้เดือดร้อน
แล้วมาร่วมเฉลยกันนะคับ
รบกวนคุณ nongtum พอดีเน็ตช้ามากๆ
โหลดไฟล์ 17 mb ใช้ต้อง 2 hr 27 min

แนบเสร็จที่ต้นกระทู้แล้วครับ ยังไงถ้าไฟล์ภาพอันไหนมันไม่ชัด ขอให้ถามหรือแก้ไขใหม่ได้ครับ หรือไม่ก็อ้างอิงจากไฟล์ต้นฉบับเองนะครับ

ขอบคุณพี่ nongtum ที่มาช่วยอัพรูปใส่ให้นะครับ (พอดีทำมะเปงเหอๆ)

1. 12
2. 3775
3. 358
4. 156
5. $\sqrt[3]{6}(\sqrt[3]{6}-1)$
6. 1540
7. 480
8. 32
9. 300
10. 810000
11. 48
12. 6
13. 13
14. 5
15. 3
16. -64
17. 29
18. $\frac{27\pi}{20}$
19. 36
20. 139
21. 18
22. 65
23. $\frac{5}{18}$
24. $\frac{4}{49}$
25. 21980
26. 111
27. 949
28. 23
29. 5
30. 1008
ใครทำแล้วช่วยเช็คด้วยนะครับ

ถูกหมดครับ รับรอง :great:

ข้อ29ทำไงหรอครับ แสดงวิธีทำให้หน่อยนะครับ ขอบคุณครับ

29. From $p^{n+1}+q^{n+1}=(p^n+q^n)(p+q)-(p^{n-1}+q^{n-1})(pq)$
We have $p^{n+1}+q^{n+1}=5A_n-3A_{n-1}$
Therefore $A_m=p^{n+1}+q^{n+1}$. Hence $m=n+1$.
And we get $A_{m-n}=A_1=5$ ##

PS. We will prove that if $A_i=A_j$ then $i=j$
Proof From if $A_k>A_{k-1}$ then $A_{k+1}>A_k$. ($A_{k+1}=5A_k-3A_{k-1} > 5A_k-3A_k=2A_k>A_k$)
and $A_1=5,A_2=13$ Let $f(n)=A_n$. We get $f(n)$ is strictly increasing function on $\mathbb{N}$. #
$f:1-1$ Function
Therefore If $A_i=A_j$ then $i=j$.

เฉลยได้เร็วมาก ขอบคุณครับ

พอดีวันนี้ผมว่างอะครับ

ว่าแต่เอามาจากไหนเนี่ยพี่:D
มีของประถมไหมอ่ะ อยากได้‼

ข้อ29พี่Anonymous เฉลย พี่ไม่ใช้p,qเป็นรากสมการ$ x^2-5x+3=0$ตามโจทย์ที่ให้มา ผมงงมากใครก็ได้ช่วยอธิบายข้อนี้ทีครับ.:please::please:

ตอนแรกผมก็งงอยู่ไม่น้อย

แต่พอเริ่มทำมันได้อ่ะครับ

เพราะว่า $A_0 \ = \ 2$

$A_1 \ = \ 5$

$A_2 \ = \ 19 $

เผอิญมากมาย

$A_2 \ = \ 5A_1 - 3A_0$

ตรงตามเงื่อนไขโจทย์

ได้ เอ็มคือ ๒ เอ็น คือ ๑

$A_{m-n} = A_1 = 5$

ปล. แค้นใจมากข้อ สุดท้าย ดันลืมไปว่า ๓๑๙ คือ ๑๑ คูณ ๒๙ ผิดไปเลย

ปล.๐.๒๕ ผิดไปหลายร้อยข้อด้วยเหตุผลเดียว คือทดเลขผิด

ปล.๐.๕ ข้อสี่เหลี่ยมคางหมู ดันเดาถูก ขอบคุณพระเจ้า

ว่าแล้วต้องเหลือเรขา :cry:
1. 12 จำนวน
2. 3775
3. 358
4. 156
5. $\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{6}$
6. 1540
7. 480 $cm^3$
8. 32
9. 300 ตารางหน่วย
10. 810000 ลูกบาศก์หน่วย
11. 48 ตารางหน่วย
12. 6 เท่า
13. 13
14. 5
15. 3
16. -64
17. -
18. -
19. 36
20. 139
21. 18
22. 65 ตารางหน่วย
23. $\frac{5}{18}$
24. $\frac{4}{49}$
25. 21695
26. -
27. -
28. 23
29. 5
30. 955
ปล.
ข้อ 3 มีวิธีคิดสั้นๆป่าวคับ ของผมมันค่อนข้างยาวอ่ะครับ
ข้อ 20 สามารถบอกได้เลยหรือเปล่าว่า $p(x) = g(x) $
ทำไงถึงจะเก่งเรขาน้อ :sweat:

ข้อ 3. สั้นหรือเปล่าผมไม่รู้ แต่ใช้ความรู้ ป. 6 ทำ
ตอนแรกหา ครน.ของ 10,8,6,4 จะได้ว่าคือ 120 แต่จะให้เหลือเศษตามที่โจทย์กำหนดต้องลบ 2 ออกคือ 118 ดังนั้นจะได้จำนวนนับที่น้อยที่สุด แต่ยังไม่สอดคล้องกับโจทย์ ที่กำหนดให้ว่าหารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 6 สังเกตว่า 118 หารด้วย 11 เหลือ เศษ 8 ส่วน 120 หารด้วย 11 เหลือเศษ 10 ดังนั้นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับโจทย์ก็จะเป็น 118+120*2 = 358 (คิดแบบสั้น) ถ้าจะคิดแบบยาวก็อธิบายแบบนี้มั้งคือให้
แสดงในรูปแบบนี้ก็ได้ คือ
จำนวนที่หารด้วย 10,8,6,4 แล้วเหลือเศษ 2 คือ 118,118+120=238, 118+120*2 =358,...+118+120*n
จำนวนข้างบนถ้าหารด้วย 11 จะเหลือเศษดังต่อไปนี้
118 หารด้วย 11 เหลือเศษ 8
238 หารด้วย 11 เหลือเศษ 7
358 หารด้วย 11 เหลือเศษ 6......****
ข้อ 20. ได้ครับ
ทำไงถึงจะเก่งเรขาน้อ :sweat:
ถ้าเป็นผมคงต้องหาเลขาสวยๆมาฝึกดูส่วนโค้งส่วนเว้ามั้งครับ เผื่อจะจินตนาการได้ว่าจะต่อเส้นไหนดี :haha::haha::haha:

ก็ทำเองสิครับ :happy:

ืำทำไมข้อ 25 ได้ 21695 อะครับ ผมได้ 21980

ดูเฉลยที่คุณ dektep โพสต์ไว้ในหน้า 1 รับรองชัวร์หมดครับ :haha:
ปล. ข้อ 20 สามารถคิดได้เลยครับ ให้ $r(x)=p(x)-g(x)$ พบว่า $r(x)$ เป็นพหุนามที่มีดีกรีอย่างมากคือ $3$.
และจากที่ $r(2)=r(4)=r(7)=r(-3)=0$ จะได้ว่า $r(x)$ มีรากอย่างน้อย $4$ ตัว แต่จาก $\deg(r(x))\le3$ จะได้ว่า $r(x)$ เป็นพหุนามศูนย์
นั่นคือ $p(x)=g(x)$ ทุึก ๆ $x$ ใด ๆ ##

ตอบ 21980 จริงๆ ครับ :blood: ตอบเกือบจบลืมหาร 2 กลับ :aah: :please::please:

ขอบคุณครับ :please:
ผมติดตัวแปรไปซะเยอะเลย :(
ปล. Innocent ครับ :yum:

ข้อ26,27 ผมทำไม่ได้ ใครก็ได้ช่วยเฉลย. หรือHintหน่อยครับ:please::please::please:

ข้อ27) ความคิดเห็นที่22 http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=6785&page=2

ขอขอบคุณNeSza ผมทำได้หมดทุกข้อ.แล้ว

พี่ คับ ข้อ 19 ทำอย่างไรคับ อธิบายหน่อยคับ

น่าเสียดายผมสมัครไว้แต่ไม่ได้ไปสอบเพราะผมไปซื้อ EXIMUS II ที่กรุงเทพ แล้วก็ไปเหมาหนังที่ศูนย์หนังสือจุฬา
-_- ไปแล้วเสียทรัพย์ T T หมดไปกับหนังสือหลายตังเลย เดี๋ยวขอตัวไปอ่านหนังสือก่อนนะครับ

จากโจทย์จะได้ว่า
$\frac{910-q}{p}=m$-----------(1)
$\frac{777-q}{p}=n$-----------(2)
$m,m\in I^+และ m\not=n$
(1)-(2)
$\frac{133}{p}=m-n$
จะสรุปได้ว่า 133 หารด้วย p ลงตัว
จะได้ว่า p=1,7,19,133 แล้วนำไปแทนค่าดูว่าค่าไหนที่ทำให้ q เป็นจำนวนเฉพาะ
เมื่อทำแล้วจะได้ p=19 q=17 p+q=36

ขอดูวิธีทำข้อ12 13 15 ได้รึป่าวครับ
กำลัง ง งูสองตัวเดินเข้ามาหากันอยู่อ่า

ข้อ 12 ใช้การแก้สมการสองตัวแปรครับ
ข้อ 13 อาศัยเรื่องรากของพหุนามช่วยครับ
ข้อ 15 ถ้าเห็นสมการสวยๆแบบนี้ ส่วนมากจะนำมาบวกกันให้หมดครับ

ข้อ12) ลาก A ต่อออกไป ถึง K แล้วลาก B ต่อลงมาตั้งฉากกับ K ทำให่รู้ว่า พท.สามเหลี่ยมABE=พท.สามเหลี่ยมCBE (เพราะสูงเท่าและฐานเท่า)
และให้ พท.สามเหลี่ยมBOD=x และพท.สี่เหลี่ยมDOEC=y
เพราะฉะนั้น $x+y=33$..............(1)
และเพราะว่า พท.สามเหลี่ยมABD=พท.สามเหลี่ยมADC (สูงเท่าและฐานเท่า)
เพราะฉะนั้น $x+22=y+11$.........(2)
จากทั้ง2สมการได้ พท.สามเหลี่ยมBOD=11ตารางหน่วย และ พท.สามเหลี่ยมABC=66ตารางหน่วย
เพราะฉะนั้น พท.สามเหลี่ยมABCเป็น $\frac{66}{11}=6$ เท่าของพท.สามเหลี่ยมBOD

ข้อ 12




จากสามเหลี่ยม ABC ใช้อัตราส่วนฐาน กับพื้นที่สามเหลี่ยม
x + y = 22+11 = 33
22 + x = 11 + y

แก้สมการ ได้ x =11 y = 22

พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = 66
BOD = 11

ข้อ 11 ทำไม่เป็น ขออนุญาตใช้วิชามารช่วย



เนื่องจากโจทย์ไม่ได้กำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของจุด P, Q. R บอกเพียงว่า P, Q. R เป็นเส้นตรงเดียวกันและขนานกับ BC
จึงขออนุญาตใช้วิชามาร ให้ P, Q. R ทับเส้น BC ดังรูป

พื้นที่ $\bigtriangleup ABC = 24$ ตารางหน่วย
พื้นที่ $\bigtriangleup APR = 72$ ตารางหน่วย
ดังนั้นพื้นที่ $\bigtriangleup APC = 72 - 24 = 48$ ตารางหน่วย

(ได้ทดสอบดูแล้ว ไม่ว่า จุด R จะอยู่ทับจุด A หรืออยู่กึ่งกลาง เส้น AB ก็ได้ผลลัพธ์เท่ากัน )

ตอบ 65

ใช้การกำหนดตัวแปรก็ได้ครับ แล้วตัวแปรจะตัดกันหมดเอง :)

ผมเป็นคนเข้าใจยาก ถ้าจะกรุณา รบกวนวิธีทำด้วยครับ :please:

จากรูป $\triangle APC = \triangle APQ+\triangle PQC$ ????????(i)
ส่วนสูงคือ x และ 8-x ตามลำดับ แต่ฐานเท่ากันคือ 12 ครับ
แทนกลับใน (i) จะได้ $APC = \frac{1}{2}(x)(12)+\frac{1}{2}(8-x)(12) = 48$ ครับ

โอว ... ขอบคุณครับ ลืมมองในมุมนี้


ขอบคุณอีกครั้งครับ